Sur la fonction surlogarithme. (Q1467575)

Man setze: \[ \begin{aligned} a_1(z)& = z,\;a_2(z) = a^z,\dots, a_{n +1} (z) = a^{a_n(z)};\\ \text{Log}_{n +1}(x)& = \text{ Log Log}_n (x) \text{ zur Basis } a;\\ E(x)& = \lim_{n\to \infty } a_n (e^\alpha + a^{-n} x);\\ T(x)&= \lim_{n\to \infty} a^n (\text{Log}_n x-e^\alpha);\\ \alpha e^{-\alpha }& =\text{log nat} a; \;1< a< e^{e-1}.\end{aligned} \] Dann ist \(T(x)\) die inverse Funktion der ganzen Funktion \(E(x)\) und wird Überlogarithmus bezeichnet; \(E(x)\) ist die ``Überexponentielle''. Die Haupteigenschaften dieser Funktionen werden nun -- auch für komplexe \(x\) -- entwickelt.