The generalized gamma functions. (Q1467576)

Verf. gibt die folgende Verallgemeinerung der \(\Gamma\)- Funktion: \(f (z)\) sei regulär und von 0 verschieden in einem die positive reelle Achse enthaltenden Sektor. Es sei ferner für ein passendes \(r\) und jedes \(\varepsilon, \varepsilon > 0,\) \[ \lim_{\xi \to +\infty }\xi^{1 +\varepsilon} \frac{d^{r +1}}{dz^{r +1}} f(\xi +z) =0, \] und zwar gleichmäßig in jedem endlichen Bereich der \(z\)- Ebene. Er setzt dann \[ \Gamma_f (z) =\lim_{p\to \infty } \frac {f(1) f(2)\cdots f(p-1)}{f(z)f(z +1)\cdots f(z +p-1)} [f(p)]^z F(p,z), \] wobei \[ \log F(p, z) =\sum_{\nu =1}^r \frac {d^\nu}{dp^\nu} \log f(p) \frac {\Phi_{\nu +1}(z)}{(\nu +1)!}; \] \(\Phi_2,\dots, \Phi_{r +1}\) sind die Bernoullischen Polynome. Für \(f (z) = z\) erhält man die gewöhnliche \(\Gamma\)-Funktion. Die so definierte Funktion \(\Gamma_f(z)\) liefert eine Lösung der Differenzengleichung \[ \Phi(z +1) = f (z) \Phi(z), \] und zwar die allgemeinste, wenn man von einem Faktor mit der Periode 1 absieht. Folgende Eigenschaften werden übertragen: Die Weierstraßsche Produktdarstellung, die Stirlingsche Formel, die Integraldarstellung von \( \frac {\Gamma'}{\Gamma}(z),\) die Darstellung von \(\Gamma(nz)\) durch \(\Gamma \left(z + \frac \nu n \right), \nu = 0,1, \dots, n -1,\) usw.