Sur la théorie des probabilités géométrique. (Q1467626)

Die Theorie der Wahrscheinlichkeiten im Falle von Mengen der Mächtigkeit des Kontinuums ist noch wenig ausgebaut und wird hier für geometrische Gebilde beliebiger \((n)\) Dimensionen einer systematischen Prüfung unterzogen. Es handelt sich dabei im wesentlichen um folgendes Problem: \(E'\) sei in \(E\) enthalten, \(a\) ein Element von \(E;\) wie groß\ ist die Wahrscheinlichkeit daß\ es auch ein Element von \(E'\) sei? Mit Poincaré wird eine Gewichtsfunktion \(F(x_1, \dots, x_n) (\geqq 0)\) herangezogen; es ist dann das Verhältnis der Integrale \[ I =\smallint \cdots \smallint F(x_1, \dots, x_n) dx_1\dots dx_n \] über \(E'\) und \(E\) zu berechnen. Die Willkürlichkeit von \(F\) verlangt i. a. eine genauere. Festlegung; diese kann geometrisch z. B. so ausgedrückt werden, daß\ das Resultat unabhängig von einer beliebigen Bewegung des ganzen Raumes ausfallen muß. Allgemeiner läßt sich die Forderung stellen, daß\ Invarianz in bezug auf eine gegebene Gruppe \(G\) von Transformationen im \(R_n\) verlangt werde: Insbesondere kann man dann fragen, wann ein Integralelement \[ dI = F(x_1, \dots, x_n) dx_1\dots dx_n \] zu invarianten \(I\) selbst führt; für eine infinitesimale Transformation \[ X =\sum_{i =1}^n \xi_i \frac {\partial}{\partial x_i} \] erhält man dann z. B: \[ \sum_{i =1}^n \frac {\partial F(\xi_i)}{\partial x_i} =0, \] und dieses Resultat läßt sich auf \(r\)-parametrige Gruppen ausdehnen. Durch eine passende Transformation \[ x_i = \varphi_i(y_1, \dots, y_n) \] läßt sich \[ I =\smallint \cdots \smallint dy_1 \dots dy_n \] erreichen; die Zurückführung auf derartige ``äquiprobable'' Veränderliche ist oft von Nutzen. Bekannte Resultate der ein- bis dreidimensionalen Geometrie werden so auf \(R_n\) ausgedehnt, insbesondere die schönen Untersuchungen von Barbier und Crofton; ebenso werden viele euklidische Resultate, z. T. mit überraschender Übereinstimmung der Ergebnisse, auf die nichteuklidischen Geometrien übertragen. Zuletzt werden Probleme behandelt, bei denen \(k\) beliebig herausgegriffene Punkte einem gegebenen Gebiet \(E\) angehören oder sonst gewisse Bedingungen erfüllen sollen: z. B. die Wahrscheinlichkeit \(P\) dafür, daß\ vier Punkte in einem konvexen ebenen \(E\) ein konvexes Viereck ergeben (Problem von Sylvester). Auch hier werden vielfach neue Resultate gegeben; kannte man beim letzteren Problem z. B. \(p = \frac 23\) für ein Dreieck, \(p = \frac {25}{36}\) für ein Parallelogramm, so wird für jedes konvexe Viereck \(E\) noch bewiesen: \( \frac 23 < p \leqq \frac{25}{36},\) und für reguläre Polygone erhält man interessante Näherungswerte von \(\pi.\) Für das erste der obengenannten Probleme kann \(p\) im Volterraschen Sinne als Funktion von \(E\) aufgefaßt werden; die erste und zweite Ableitung dieser Funktion werden bestimmt und mit Erfolg auf verschiedene bekannte Probleme angewandt.