Surfaces of rotation in a space of four dimensions. (Q1467678)

Es werden die speziellen Drehungen \[ \begin{matrix} X_1& =x_1 \cos t -x_2 \sin t, \;X_2& =x_1\sin t +x_2 \cos t;\\ X_3& =x_3 \cos t -x_4 \sin t, \;X_4& =x_3\sin t +x_4 \cos t\end{matrix} \] betrachtet. Wählt man \(A, \dots, D\) gemäß \[ \begin{aligned} Ax_1 +Bx_2 +Cx_3 +Dx_4& =0,\\ Bx_1-Ax_2 +Dx_4-Cx_3& =0,\end{aligned} \] so bleibt der rotierende Punkt in der Ebene \[ \begin{aligned} AX_1 +BX_2 +CX_3 +DX_4& =0,\\ BX_1-AX_2 +DX_3-AX_4& =0;\end{aligned} \] diese Ebene bleibt als Ganzes invariant. Die Drehung einer beliebigen Ebene, sowie einer beliebigen Geraden wird diskutiert. Die Rotation einer ebenen Kurve \(m\)-ter Ordnung liefert i. a. eine Fläche von der Ordnung \(8m.\) Die Orthogonaltrajektorien der Bahnkurven einer Rotationsfläche sind geodätisch; die Bahnkurven selbst sind es nur dann, wenn die Fläche durch Drehung einer sphärischen Kurve entsteht.