Sur le mouvement permanent des liquides. (Q1467722)

Es wird die Frage untersucht, wann ein vorgeschriebenes System von Raumkurven die Trajektorien einer perrmanenten Strömung darstellen kann. Sind \(a, b, c\) die Kosinus der Tangente und \(a', b', c'\) diejenigen der Hauptnormale in einem Punkte \((x, y, z),\) ist ferner \(\varrho\) die Krümmung, \(\theta\) die Divergenz von \((a, b, c),\) \[ A=a'\varrho -a\theta,\dots,C=c'\varrho-c\theta, \] so erhält man -- bei eindeutigen Funktionen -- als notwendige und hinreichende Bedingung: \[ A\left(\frac {\partial B}{\partial z}-\frac {\partial C}{\partial y}\right) +\cdots +C\left(\frac {\partial A}{\partial y}-\frac {\partial B}{\partial x}\right) =0. \] Diese Bedingung läßt sich geometrisch deuten. Man trage auf jeder (gerichteten) Tangente den Vektor \(\theta,\) auf der zugehörigen Hauptnormale den Vektor \(\varrho\) ab; die resultierenden Vektoren \(\mathfrak R\) müssen ein Normalensystem für eine Flächenschar \(S\) bilden. Dieses Resultat wird hydrodynamisch verwertet, insbesondere werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine wirbellose Strömung untersucht; wird \[ \Delta = \frac 12 \sum a\left( \frac {\partial c}{\partial y}-\frac {\partial b}{\partial z}\right), \;E\sqrt{\varSigma A^2} \] gesetzt, so muß\ 1. \(\Delta = 0\) sein, 2. auf jeder Fläche \(S\) überall \(E\) umgekehrt proportional zur Entfernung \(\delta n\) von einer unendlichbenachbarten Fläche \(S + \delta S\) ausfallen.