Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis. (Q1468007)

Das alte Problem der begrifflichen Erfassung des Kontinuums, das für die Begründung der Analysis endgültig gelöst werden muß, hat nach der allgemein herrschenden Meinung seine Lösung in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts gefunden. Die durch die Arbeiten von \textit{Cantor} und \textit{Dedekind} gegebene Lösung verwendet den Mengenbegriff in einer Gestalt, wie er whol zuerst in der \textit{Dirichlet}schen Definition der Funktion auftritt, dann in der \textit{Cantor}schen Mengenlehre seine großen Erfolge zeitigt. Dieser Mengenbegriff hat jedoch schon in seinen äußersten Konsequenzen zu erheblichen Absurditäten geführt, die man allerdings im allgemeinen als bedeutungslos für das hauptergebnis der mengentheoretischen Betrachtungsweise, nämlich für die Theorie der reellen Zahl oder des Kontinuums, ansah. Es ist nun das Verdienst des vorliegenden Buches, aufs neue auf die Schwierigkeiten, die im Begriff der reellen Zahl liegen, hingewiesen, und die logischen Laxheiten, die in der üblichen Einführung dieses Begriffs durch den vagen Mengenbegriff veranlaßt werden, festgestellt zu haben. Der Verf. sieht nämlich in der modernen Begründung der Analysis einen circulus vitiosus, der durch die unpräzise Anwendung des Existenzbegriffes entsteht. Die Aussage: ``Es gibt einen Gegenstand von der Eigenschaft \(A\)'', hat nur dann einen Sinn, wenn die Existenz etwas an sich Feststehendes ist, oder wenn der Kreis der als existierend angesehenen Dinge ein schaft umgrenzter ist. Einem logischen Zirkel aber ist es offenbar gleichkommend, wenn man eine Eigenschaft definiert, in folgender Weise: ``Die Eigenschaft \(E\) soll dem Gegenstand \(X\) zukommen, wenn es eine Eigenschaft von der Art gibt, daß \(\dots\)''. Denn der Kreis von Eigenschaften, der durchsucht werden müßte, ist hier unabgeschlossen, und es ist völlig unentschieden, ob er noch durch die zu definierende Eigenschaft vermehrt wird oder nicht, die aber selbst erst bekannt sein müßte, um den Kreis der Eigenschaften völlig überblicken zu können, was wieder zu Definition notwendig ist. Daß ein solcher Zirkel in der heutigen Analysis aber eine Rolle spielt, kann man einsehen, wenn man sich den Beweis des Satzes ``Jede beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt eine obere Grenze'' oder des Satzes ``Jeder Schnitt im Bereiche der reellen Zahlen bestimmt wieder eine reelle Zahl'' vergegenwärtigt und bedenkt, daß eine reelle Zahl in der \textit{Dedekind}schen Auffassung eine Menge rationaler Zahlen ist, eine Menge aber nach \textit{Weyl} nur durch eine Eigenschaft, die ihre Elemente charakterisiert, bestimmt sein kann. Um nun diese Widersinigkeiten zu analysieren, untersucht \textit{Weyl} zunächst die Rolle, die die Aussage ``es gibt'' spielt. Es stellt dabei fest, daß in der Verbindung, ``es gibt ein \(x\) derart, daß \(\dots\)'' dieses \(x\) im Urteil nur eine ``scheinbare'' Variable (nch dem Sprachgebrauch der mathematischen Logik) ist. Auch durch Ausfüllung durch einen bestimmten Gegenstand kann die Variabelnzahl eines ``Urteilsschemas'' vermindert werden. Während ``\(x\) ist Neffe von \(y\)'' ein Urteilsschema mit zwei Variabeln ist, wird daraus erst ein Urteil, -- in dem eine Aussage gemacht wird, die wahr oder falsch sein kann --, wenn die beiden Variabeln entweder durch bestimmte Personen ausgefüllt werden, oder zu scheinbaren Variabeln gemacht werden durch ``es gibt'', also etwa \(y=\) ich gesetzt: ``Es gibt ein \(x\), so daß \(x\) Neffe von mit ist'' oder ``ich bin Onkel''. Neben diesen beiden logischen Verfahren stellt der Verfasser noch weitere logische Prinzipien der Urteilskombination auf, durch die man aus einfachen Urteilen zu komplizierteren übergehen kann, darunter das mathematisch beeutungsvolle der Iteration. Wesentlich ist es dann, daß \textit{Weyl} nur die nach diesen Prinzipien aus gewissen Grundurteilen gebildeten Urteile und die dadurch konstruierten Eigenschaften und Mengen zuläßt. Diese, den ersten Teil des Buches bildende Untersuchungen sind auch an sich bemerkenswert, indem sie die dem Mathematiker geläufige Tatsache hervorheben, daß die traditionelle Logik mit ihren Einteilungen nicht im entferntesten der feinen Struktur des Urteils gerecht wird. Außerdem wird hier der Satz vom ausgeschlossenen Dritten in sinngemäßer Weise beschränkt. Ein Satz wie ``Die Tugend ist grün'' ist weder wahr noch falsch, sondern sinnlos, d. h. er stellt gar kein Urteil dar. Jede Eigenschaft kann nur von einer gewissen, ihr zugeordneten Kategorie von Gegenständen sinvoll behauptet oder verneint werden; erst der Sinn eines sinnvollen Satzes ist das Urteil. Solche Bemerkungen (die sich z. B. auch schon bei \textit{Lotze} finden) sind leider in Vergessenheit geraten gemäß dem Umsichgreifen des Gebrauchs eines völlig vagen Mengenbegriffs. Diese logischen Prinzipien geben nun dem Verf. ein Mittel an die Hand um den oben dargelegten circulus vitiosus klar herauszupräparieren und ihn zu vermeiden. Grenzt man zunächst einen Bereich ab, der ``umfangsdefinit'' ist, so darf auf Gegenstände dieses Bereiches die Aussage ``es gibt' uneingeschränkt angewendet werden. Ein solcher Bereich besteht im allgemeinen aus mehreren Grundkategorien; für die Grundlegung der Analysis wird der Bereich Kategorie wird nur eine einzige Grundrelation ``\(n'\) folgt auf \(n\)'' angenommen; alle weiteren Relationen und Eigenschaften, Mengen und Individuen werden mit Hilfe der logischen Prinzipien aus ihnen abgeleitet. Dies führt \textit{Weyl} auch zu einem großen Teil wirklich aus, wobei er sich einer Begriffsschrift bedient, die leider von der einigermaßen eingebürgerten \textit{Peano-Russell}schen durch aus abweicht. Wollte man nun die Aussage ``es gibt'' bei der Urteilskonstruktion auch anwenden auf die schon durch Konstruktion gewonnen Eigenschaften und Mengen, so müßte man diesen Bereich zunächst einmal als abgeschlossen ansehen. Er war als Bereich ``erster Stufe'' bezeichnet. Dann werden die auf diesem Bereich als Grundkategorie aufgebauten Urteile mit ihren Eigenschaften und Gegenständen einer ``zweiten Stufe'' angehören. So wäre also ``die obere Grenze einer beschränkten Menge reeller Zahlen'' im allgemeinen eine ``reelle Zahl zweiter Stufe''. So fortfahrend würde man zu weiteren Stufen, einer ``Analysis mit Stufenbildung'' gelangen. Eine solche würde nur dann der heutigentags intendierten Analysis vergleichbar, wenn es gelänge, zu zeigen, daß die Eigenschaften höherer Stufe zwar nicht ihrem \textit{Sinn} nach (das ist durch ihren Srufenunterschied ausgeschlossen) wohl aber ihrem \textit{Umfang} nach stets mit Eigenschaften erster Stufe übereinstimmen müssen. Doch fehlt hierfür bisher jeder Beweisansatz. So bleibt also nur übrig, daß ``es gibt'' auf die Grundkategorie der natürlichen Zahlen zu beschränken, und unter dieser Einschränkung führt \textit{Weyl} auch in dem zweiten Teil seines Buches die Konstruktion der reellen Zahlen und den Beweis einiger Sätze über Zahlenfolgen und stetige Funktionen wirklich aus. Nach dem schon Auseinandergesetzten ist es klar, daß der Satz von weise des \textit{Dirichlet}schen Prinzips, selbst in der bescheideneren, der \textit{Weierstraß}schen Kritik Rechnung tragenden Formulierung, welche nicht mehr die Existenz eines ``Minimums'', sondern nur die einer ``unteren Grenze'' behauptet, kann nicht aufrecht erhalten werden.'' Es ist aber wesentlich, daß in der \textit{Weyl}schen Analysis das \textit{Cauchy}sche Konvergenzprinzip gilt. Überblickt man den Gesamtinhalt der kleinen Schrift, so erkennt an in ihm einen zweifellos scharfsinnigen und konsequenten Versuch, die Analysis auf eine sichere Grundlage zu stellen, mag dabei auch manches wertvolle Gut preisgegeben werden müssen. Dem Verf. gelingt auf seinem Wege nebenbei noch die Lösung mancher Schwierigkeit, z. B. fällt die \textit{Richard}sche Antinomie von der \textit{Weyl}schen Zergliederung in nichts zusammen. Doch muß der Verf. in demselben Atem den Satz, daß jede unendliche Menge eine abzählbare Teilmenge besitzt, als unbeweisbar aufgeben. Und doch muß er eingestehen, daß eine Lösung des Kontinuum-Problems auch durch seine Begründung der Analysis nicht gegeben ist. Die reellen Zahlen bleiben diskontinuierlich, atomistisch und können in keiner Weise in ihrer Gesamtheit ein Bild des fließenden Kontinuums, etwa der Zeit abgeben. Eine mathematisch reine Wissenschaft des Kontinuums glaubt daher der Verf. ablehnen zu müssen; Stetigkeitsgeometrie kann stets erst auf Umwegen über die analytische Erfassung getrieben werden, -- eine Auffassung, die meines Erachtens völlig dem unbefangenen Gefühl über die Gültigketi der Lehren der Analysis Situs widerspricht. Die Lehre von den reellen Zahlen spielt daher nach \textit{Weyl} dem Kontinuum gegenüber nur dieselbe Rolle, die eine physikalische Theorie der Wirklichkeit gegenüber geansprucht: beide haben die Aufgabe, ein abstraktes begriffliches Schema zu bilden für die fließende unendliche Manigfaltigkeit des anschaulich Gegebenen. (III, IV 1.)