Sur les équations linéaires aux différences finies à coefficients rationnels. (Q1468125)

Im zweiten Kapitel der vorliegenden Abhandlung betrachtet der Verf. Differenzengleichungen von der Form \[ (1)\quad \sum_{i=0}^k p_i(x)u(x+i)=0, \] worin die Koeffizienten \(p_i(x)\) Polynome vom Grade \(p\) in \(x\) sind. Er bildet ein Fundamentalsystem von Lösungen \(u_1(x),\dots,u_k(x)\), die sich folgendermaßen darstellen lassen: \[ u_i(x)=a_i^x\sum_{s=0}^r\Omega_s(x)\frac{\partial^s}{\partial \beta_i^s} \left[\frac{\Gamma(\frac x\omega)}{\Gamma(\frac x\omega+\beta_i+1)}\right], \] worin \[ \Omega_s(x)=A_0^{(s)}+\sum_{\nu=0}^\infty \frac{A_{\nu+1}^{(s)}}{x(x+\omega)\cdots(x+\nu\omega)} \] (konvergent in einer rechten Halbebene) und \(\omega\) eine passend gewählte positive Zahl ist; die \(a_i\) und \(\beta_i\) sind komplexe Konstanten. Diese Lösungen sind meromorphe Funktionen von \(x\) mit den Polen \(\alpha_s, \alpha_s- 1,\dots(s=1,2,\dots,p;\;\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\) Nullstellen von \(p_0(x)\)). Wenn \(x\) längs einer Geraden ins Unendliche geht, die mit der positiven reellen Achse einen Winkel bildet, der dem absoluten Werte nach \(\leqq\frac\pi 2\) ist, so konvergiert der Ausdruck \[ \frac{u_i(x)}{a_i^x(\frac 1x)^{\beta_i+1}\log^n(\frac 1x)}\;(n\text{ eine ganze Zahl }\leqq r) \] gleichmäßig gegen eine endliche von Null verschiedene Grenze. -- Alsdann bildet Verf. ein zweites Fundamentalsystem von Lösungen \(\overline u_1(x),\overline u_2(x),\dots,\overline u_k(x)\), welche meromorphe Funktionen mit den Polen \(\gamma_s,\gamma_s+1,\dots(s=1,2,\dots,p;\gamma_1,\gamma_2,\dots, \gamma_p\) Nullstellen von \(p_k(x+k))\) sind. Geht \(x\) längs eine Geraden ins Unendliche, die mit der negativen reellen Achse einen Winkel bildet, der dem absoluten Werte nach \(\leqq\frac\pi 2\) ist, so konvergiert der Ausdruck \[ \frac{\overline u_i(x)}{a_i^x(\frac 1x)^{\beta_i+1}\log^n(\frac 1x)} \] gleichmäßig gegen eine Grenze. -- Zwischen diesen beiden Lösungssystemen bestehen nun sehr bemerkenswerte lineare Relationen mit periodischen Koeffizienten; diese sind rationale Funktionen von \(e^{2\pi ix}\) welche nur folgende Konstanten enthalten: 1. die Zahlen \(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_p\); 2. die Residuen der kanonischen Lösungen \(\overline u_j(x)\) in den Punkten \(\gamma_s\); 3. die Werte der Multiplikatoren der Differenzengleichung in den Punkten \(\gamma_s-k\) (Kap. III u. IV). Diese Relationen gestatten, das Verhalten der Lösungen \(u_i(x)\) und \(\overline u_i(x)\) zu untersuchen, wenn \(x\) auf irgend einem Wege ins Unendliche geht (Kap. V). -- Im ersten Kapitel wird der einfachste Sonderfall \(\sum_{s=0}^k Q_s(x)\Delta^s_{-1}u(x)=0\) behandelt, worin die Koeffizienten \(Q_k(x),Q_{k-1}(x),\dots,Q_0(x)\) Polynome sind, deren Grad mit dem Index abnimmt. Für die meromorphen Lösungen \(u_i(x)\) ist in diesem Falle im Winkel \(\pi-\varepsilon>\text{Arg}x>- \pi+\varepsilon\;(\varepsilon\) eine beliebig kleine positive Zahl) gleichmäßig: \[ \lim_{x\to\infty}\frac{u_i(x)}{(\frac 1x)^{\beta_i+1}\log^n(\frac 1x)}=\text{konst}. \] Vgl. die einschlägigen Arbeiten von \textit{Galbrun} (C. R. 148, 905, 149, 1046, F. d. M. 40, 386 (JFM 40.0386.*), 1909; 150, 206, 151, 1114, F. d. M. 41, 369 (JFM 41.0369.*), 1910; Acta Math. 36, 1, F. d. M. 43, 412 (JFM 43.0412.*), 1912) und \textit{Birkhoff} (American M. S. Trans. 12, 243, F. d. M. 42, 359 (JFM 42.0359.*), 1911 u. American Acad. Proc. 49, 521, F. d. M. 44, 391 (JFM 44.0391.*), 1913), die sich bei ihren Untersuchungen nach dem Vorgange von \textit{Poincaré} und \textit{Horn} asymptotischer divergenter Potenzreihen bedienen, sowie frühere Arbeiten des Verf. (C. R. 147, 521, F. d. M. 39, 396 (JFM 39.0396.*), 1908; 149, 841, F. d. M. 40. 387, 1909; 155, 1485, F. d. M. 43, 410 (JFM 43.0410.*), 1912; 156, 51, F. d. M. 44, 390 (JFM 44.0390.*), 1913; Diss. Kopenhagen 1910, F. d. M. 41, 393 (JFM 41.0393.*); Danske Vidensk. Selsk. Skr. 6, 309, F. d M. 42, 367, 1911 u. a.).