Über eine nichtlineare Differenzengleichung. (Q1468132)

Hier handelt es sich um die beiden Differenzengleichungen \[ y(x-1)=ay(x)+f(\frac 1x,y(x)),\quad y(x+1)=\overline ay(x)+\overline f(\frac 1x,y(x)), \] die sich aufeinander zurückführen lassen; die Funktionen \(f,\overline f\) sollen nach positiven Potenzen von \(x^{-1}\) und \(y\) entwickelbar sein, wobei das konstante Glied und der Koeffizient von \(y\) verschwinden. Das allgemeine Integral wird in eine Reihe entwickelt, die nach Potenzen einer willkürlichen Funktion \(\varphi(x)\) mit der Periode 1 fortschreitet. Die Koeffizienten der Reihe genügen selbst einem rekursorischen System von Differenzengleichungen und lassen sich durch \textit{Laplace}sche Integrale darstellen, die man sowohl in konvergente Fakultätenreihen entwickeln als auch durch divergente Potenzreihen asymptotisch darstellen kann.