Zur Theorie der nichtlinearen Differenzengleichungen. (Q1468133)

Hier handelt es sich um die Differenzengleichungen \[ y(x-1)-y(x)=\frac 1xP(\frac 1x,y(x)),\quad y(x+1)-y(x)=\frac 1x\overline P(\frac 1x,y(x)), \] die beide durch Reihen der zwei Typen \[ y(x)=\sum_{\lambda=1}^\infty\frac{c_\lambda}{x^\lambda}\text{ und }y(x)=\sum_{\lambda+\mu\geqq 1} c_{\lambda\mu}\left(\frac 1x\right)^\lambda\left(\frac{C}{x^a}\right)^\mu \] formal befriedigt werden. In letzterer Reihe bedeutet \(C\) eine willkürliche Funktion von \(x\) mit der Periode 1, und \(a\) ist der Koeffizient von \(y\) in \(P\) bzw. von \(-y\) in \(\overline P\). Die Reihen sind im allgemeinen divergent. Die erste stellt aber, wenn \({\mathfrak R}(a)\leqq 0\) ist, ein Integral asymptotisch dar, und analoges gilt von der zweiten, wenn \({\mathfrak R}(a)>0\), und \(a\) keine ganze Zahl ist. Der Beweis wird dadurch geführt, daß\ die Differenzengleichung durch die \textit{Laplace}sche Transformation in eine \textit{Volterra}sche Integralgleichung übergeführt wird. Die \textit{Laplace}schen Integrale lassen sich dann durch die obigen Reihen asymptotisch darstellen, außerdem aber auch in konvergente Fakultätenreihen entwickeln.