Sur le problème de \textit{Bäcklund}. (Q1468158)

\textit{Bäcklund}sches Problem nennt der Verf. die Aufgabe, zwei Vereine von je \(\infty^2\) Flächenelementen \(x,y,z,p,q\) und \(x',y',z',p',q'\) zu bestimmen, die einander elementweise zugeordnet sind und die vier Gleichungen \[ F_i(x,y,z,p,q,x',y',z',p',q')=0\;(i=1,2,3,4) \] erfüllen. Lassen sich weder \(x,y,z,p,q\) noch \(x',y',z',p',q'\) eliminieren, so kommt das Problem durch Einführung einer Hilfsveränderlichen \(u\) darauf hinaus, alle zweifach ausgedehnten Integralmannigfaltigkeiten eines zweigliedrigen \textit{Pfaff}schen Systems in sechs Veränderlichen: \[ dz-pdx-qdy=0,Xdx+Ydy+Zdz+Pdp+Qdq+Udu=0 \] zu bestimmen. Ein solches System kann im allgemeinen auf zwei Arten auf die Form gebracht werden, daß\ \(U\) verschwindet; jeder derartigen Normalform entspricht eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung \(F(x,y,z,p,q,r,s,t)=0\), die ein System von Charakteristiken erster Ordnung besitzt, und zwar kann jede solche Differentialgleichung auf diese Weise erhalten werden. Der Verf. leitet hieraus eine Reihe von Sätzen ab, die sich auf die Transformation partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung beziehen. Die betreffenden Transformationen sind \textit{Bäcklund}sche, die durch Gleichungen der vorhin angegebenen Art definiert wurden. Eine besondere Rolle spielen dabei die \textit{Monge-Ampère}schen Gleichungen.