Sur quelques remarques relatives au problème de \textit{Pfaff}. (Q1468159)

Der Verf. begründet die Invariantentheorie eines \textit{Pfaff}schen Ausdruckes \(\sum X_idx_i\), indem er die Extremalen des längs einer Kurve erstreckten Integrals \(\int\sum X_idx_i\) untersucht. Im Falle \(n=3\) werden die Extremalen des Integrals \(\int(Pdx+Qdy+Rdz)\) durch die Gleichungen: \[ \frac{dx}{Q_z-R_y}=\frac{dy}{R_x-P_z}=\frac{dz}{P_y-Q_z} \] bestimmt, d. h. sie sind die zu dem Vektor \(P,Q,R\) gehörigen Wirbellinien. Hieraus folgt leicht die Kovarianz dieser Wirbellinien gegenüber beliebigen Punkttransformationen; ist andrerseits die Gleichung \(Pdx+Qdy+Rdz=0\) unbeschränkt integrabel, ihre links Seite aber kein vollständiges Differential, so sind ihre Integralflächen Örter von Wirbellinien. Im Falle eines beliebigen \(n\) führt die erste Variation des Integrals \(\int\sum X_idx_i\) ohne weiteres zu der bilinearen Kovariante des Ausdrucks \(\sum X_idx_i\) und als Differentialgleichungen der Extremalen erhält man das bekannte System: \[ \sum_\nu a_{\nu i}dx_\nu=0\;\left(i=1,\dots,n;a_{\nu i}=\frac{\partial X_\nu}{\partial x_i}-\frac{\partial X_i}{\partial x_\nu}\right)\cdot \] Hieraus erschließt man leicht die Kovariante dieses Systems zu dem Ausdrucke \(\sum X_idx_i\); aus den Eigenschaften der Extremalen ergibt sich ferner der bekannte wichtige Satz, daß\ das System stets unbeschränkt integrabel ist, so daß\ sich die Extremalen auf die Integralmannigfaltigkeiten des Systems verteilen. Der Verf. zeigt sodann, wie man von hier aus zur Unterscheidung der verschiedenen Normalformen des \textit{Pfaff}schen Ausdrucks und zur Reduktion auf die Normalform gelangt. Er betont selbst, daß\ seine Darstellung sehr nahe mit der verwandt ist, die \textit{Darboux} in seiner Theorie des \textit{Pfaff}schen Problems gegeben hat. Bemerkt sei übrigens, daß\ sich alle Betrachtungen ganz wesentlich einfacher und naturgemäßer gestalten, wenn man statt beliebiger Variationen die infinitesimsle Transformation: \(\delta x_i=\xi_i\delta t\) benutzt, die der Gleichung \(\sum X_i\xi_i=0\) genügen und die entweder die Gleichung \(\sum X_idx_i=0\) invariant lassen oder den Ausdruck \(\sum X_idx_i\) bis auf ein additives vollständiges Differential.