Über das Potential gewisser Ovaloide. (Zweite Abhandlung.). (Q1468182)

In einer früheren Arbeit (vgl. F. d. M. 45, 584 (JFM 45.0584.*), 1914-15) hatte der Verf. folgende Aufgabe behandelt. Ein verlängertes oder abgeplattetes Rotationsellipsoid werde von einem inneren Punkte aus mittels reziproker Radien transformiert, das von der transformierten Fläche begrenzte Ovaloid mit Masse von konstanter Dichtigkeit belegt, dann soll die Wirkung, die diese Masse auf äußere Punkte ausübt, durch die Wirkung anderer Massen von einfacherer Begrenzung ersetzt werden. Diese Aufgabe war dort nur für gewisse spezielle Lagen des Transformationszentrums erledigt, während sie in der vorliegenden Abhandlung für eine beliebige Lage des Transformationszentrums auf der Rotationsachse durchgeführt wird. Es wird somit der allgemeinste Fall untersucht, in dem durch die Transformation eines Rotationsellipsoids von einem inneren Punkte aus eine Rotationsfläche entsteht. Für homogene Ovaloide, die von derartigen Rotationsflächen begrenzt werden, werden folgende Resultate abgeleitet. 1. Ist das Grundellipsoid ein verlängertes Rotationsellipsoid, so läßt sich die Wirkung des homogenen Ovaloids auf äußere Punkte ersetzen durch die Wirkung eines auf gewisse Weise einfach und doppelt mit Masse belegten Hilfsellipsoids; und zwar ist letzteres ein verlängertes oder abgeplattetes Rotationsellipsoid, je nachdem das Transformationszentrum vom Mittelpunkte des Ausgangsellipsoids weiter entfernt ist als die Brennpunkte oder dem Mittelpunkte näher liegt. Die Brennpunkte des Hilfsellipsoids sind, falls es ein verlängertes Rotationsellipsoid ist, dieselben Punkte wie die, die in dem analogen ebenen Problem eine Rolle spielen. Ist dagegen das Hilfsellipsoid ein abgeplattetes Rotationsellipsoid, so entsteht seine Brennlinie durch Rotation der analogen Punkte des ebenen Problems. 2. Ist die Ausgangsfläche ein abgeplattetes Rotationsellipsoid, so läßt sich die Wirkung des Ovaloids ersetzen durch die zweier Massenpunkte und der sie verbindenden, einfach mit Masse belegten Linie, deren Dichtigkeit durch eine transzendente Funktion dargestellt wird. Die Summe der Massen der beiden Massenpunkte und der Linie ist gleich der Gesamtmasse des Ovaloids. Auch hier sind die Massenpunkte dieselben wie in dem analogen ebenen Problem. Zur Ableitung dieser Resultate wird dieselbe Methode angewandt wie in der früheren Abhandlung. Unter Benutzung räumlicher Polarkoordinaten, deren Pol das Transformationszentrum ist, wird die reziproke Entfernung zweier Punkte und daraus das Potential des Ovaloids für genügend entfernte äußere Punkte in eine Reihe entwickelt. Dann werden die einzelnen Glieder auf eine möglichst einfache Form gebracht, schließlich die Reihe wieder summiert und der Endausdruck gedeutet. In der ursprünglichen Reihe für das Potential treten als Faktoren der einzelnen Glieder Integrale von der Form \[ (1 )\quad I_n=\int_{-1}^{+1}(\gamma x+\sqrt{1\pm\beta^2x^2})^{n+3}P_n(x)dx \] auf. Um diese auf eine passende Form zu bringen, wird zunächst die in dem Integral auftretende Potenz nach dem binomischen Satze entwickelt, dann wird \(I_n\) unter Benutzung einer neuen Formel für den Ausdruck \(x^{n-2p}P_n(x)\) zunächst in Form einer Doppelsumme dargestellt, die aber auf eine einfache Summe zurückgeführt werden kann. Schließlich läßt sich durch Einführung neuer Veränderlicher auch die einfache Summation ausführen, und es ergibt sich für den Fall, daß\ in (1) das Zeichen + gilt und \(\gamma^2+\beta^2\) ist, \[ (2)\quad I_n=\frac 23(n+3)\int_0^1 x^{n+2}P_n(z)\sqrt{(\gamma^2- \beta^2+\beta^2x^2)^n}f(x)\sqrt{1+\beta^2x^2}dx, \] worin \[ z=\frac{\gamma x}{\sqrt{\gamma^2-\beta^2+\beta^2x^2}} \] ist, während \(f(x)\) eine gewisse ganze Funktion zweiter Ordnung ist. Ähnlich ist das Resultat für den Fall, daß\ in (1) das Zeichen - gilt, während der Fall des Zeichens + mit der Bedingung \(\gamma^2<\beta^2\) eine besondere Behandlung erfordert und zu etwas komplizierten Resultaten führt. Durch Einsetzung der Werte (2) für \(I_n\) resp. der analogen für die andern Fälle erhält die Reihe für das Potential \(V\) der Ovaloide eme Form, die die Summation gestattet und damit zu den oben angegebenen Ergebnissen führt. Die vorher erwähnte neue Formel für \(x^{n-2p}P_n(x)\), die zuerst abgeleitet wird, lautet \[ \begin{matrix} (3)\quad &x^{n-2p}P_n(x)=\frac{(- 1)^p}{p!}x\frac{d^p}{dy^p}[\sum_{k\geqq p}(-1)^{k- p}C_k^{(p)}y^{n-k-\frac 12}(1-y)^k], \\ &y=x^2,C_k^{(p)}=\frac{(n- 2p)(n-2p-1)\cdots(n-2k+1)}{2\cdot 4\dots(2k- 2p)(2p+2)(2p+4)\dots 2k},C_p^{(p)}=1; \end{matrix} \] dabei ist \(p\) eine ganze Zahl \(\leqq\frac 12 n\), und die Reihe in (3) ist eine endliche. In der Gleichung (3) sind zwei in der ersten Abhandlung abgeleitete Hilfsformeln als spezielle Fälle enthalten. Die besprochenen, ziemlich umfangreichen Entwicklungen umfassen die beiden ersten Abschnitte der Arbeit. Im dritten Abschnitt werden die hier aufgestellten allgemeinen Formeln auf die in der ersten Abhandlung untersuchten speziellen Fälle angewandt, und es wird damit für die in jenen speziellen Fällen gefundenen Resultate eine neue Ableitung gegeben.