Eine neue Methode zur Lösung der Randwertaufgabe partieller Differentialgleichungen. (Q1468185)

Der Verf. gibt hier eine neue Methode an, um die erste Randwertaufgabe bei der Gleichung \(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0\) durch sukzessive Annäherungen zu lösen. Im ersten Paragraphen wird für nahezu kreisförmige Gebiete die folgende Methode vorgeschlagen. Es sei \(R\) eine geschlossene Kurve, die durch eine Gleichung in Polarkoordinaten \(r=r(\theta)\) dargestellt werden kann, wo \(\left| \frac{dr}{d\theta}\right| \) klein ist. Ferner möge \(K\) ein \(R\) umschließender Kreis sein mit seinem Mittelpunkt im Anfangspunkt. Sind die auf \(R\) vorgeschriebenen Randwerte durch die Funktion \(g(\theta)\) gegeben, so wähle man als erste Approximation diejenige (als \textit{Poisson}sches Integral darstellbare) harmonische Funktion \(g_1(x,y)\), die auf \(K\) die Randwerte \(g(\theta)\) annimmt; \(g_1(x,y)\) unterscheidet sich auf \(R\) von der gesuchten Funktion um den Betrag \[ f_1(\theta)=g(\theta)- \int_0^{2\pi}N(\theta,t)g(t)dt, \] wo \(N(\theta,t)\) in leicht ersichtlicher Weise mittels der Normalableitung der \textit{Green}schen Funktion des Kreises gebildet ist. Nun kann man eine zweite Approximation \(g_2(x,y)\) finden, die aus \(f_1(\theta)\) in ähnlicher Weise wie \(g_1(x,y)\) aus \(g(\theta)\) gebildet ist. Das Verfahren läßt sich unbegrenzt fortsetzen, indem man \(g_{n+1}(x,y)\) aus dem Fehler \[ f_n(\theta)=f_{n-1}(\theta)- \int_0^{2\pi}N(\theta,t)f_{n-1}(t)dt \] der vorangehenden Approximation in derselben Weise konstruiert, wie \(g_1(x,y)\) aus \(g(\theta)\) gebildet wurde. In \S\,2 wird die Konvergenz dieses Verfahrens besprochen. Der Verf. zeigt, daß\ der Fehler für \(n\to\infty\) gegen Null strebt, wenn \(R\) und \(K\) zwei konzentrische Kreise sind Ferner wird für allgemeinere Randkurven die Konvergenzfrage in dem Falle behandelt, daß\ die \textit{Fourier}-Entwicklung von \(g(\theta)\) nur eine endliche Anzahl von Gliedern enthält. Der Verf. bemerkt, daß\ die Konvergenzfrage mit der rage nach der Entwickelbarkeit willkürlicher Funktionen nach den Eigenfunktronen des Kernes \(N(\theta,t)\) eng zusammenhängt. Da dieser aber unsymmetrisch ist, läßt sich das Problem auf diesem Wege kaum erledigen. Um dieser Schwierigkeit zu entgehen, ändert der Verf. in \S\,3 und 4 sein Approximationsverfahren derart ab, daß\ der Konvergenzbeweis auf Grund der \textit{Schmidt}schen Eigenfunktionen des Kernes \(N(s,t)\) (d. h. der Eigenfunktionen des symmetrischen Kernes \(\int N(s,r)N(t,r)dr=K(s,t)\)) aufgebaut werden kann. Man kann durch Festlegung einer gewissen Regularitätsbedingungen unterworfenen Zuordnung zwischen den Punkten auf \(R\) und \(K\) die Einschränkung fallen lassen, daß\ es sich um fast kreisförmige Gebiete handelt. Die Abänderung des Approximationsverfahrens besteht einfach darin, daß\ die \((n+1)\)-te Korrektion nicht direkt auf die \(n\)-te Approximation \(f_n(s)\) angewandt wird, sondern auf die Funktion \[ h_n(s)=\int_0^{2\pi}N(s,t)f_n(t)dt, \] Der Verf. beweist durch Anwendung eines bekannten Satzes betreffend Approximation analytischer Funktionen durch Polynome, daß\ der Kern \(K(s,t)\) abgeschlossen ist, und es ergibt sich schließlich, daß\ das abgeänderte Approximationsverfahren unter ziemlich allgemeinen Voraussetzungen über \(R\) und die zugehörige Randfunktion konvergiert. In \S\,5 wendet der Verf. die allgemeine Theorie auf den Fall an, daß\ \(R\) in bezug auf den Mittelpunkt von \(K\) konvex ist. Er findet, daß\ die sukzessiven Korrektionen sich durch Reihen von sehr einfacher Bauart berechnen lassen.