Über die Integralformel der Randwertaufgaben. (Q1468186)

Sei \(T\) ein beschränktes, einfach zusammenhängendes ebenes Gebiet. Auf dem Rande \(S\) von \(T\) sei eine stetige Folge von Werten gegeben, und es möge \(u(x,y)\) diejenige in \(T+S\) stetige, in \(T\) reguläre Potentialfunktion bezeichnen, die auf \(S\) die vorgeschriebenen Werte annimmt. Der Verf. setzt voraus, daß\ \(u(x,y)\) sich in der Form \[ u(x,y)=\int_S f(\sigma)g(x,y;\sigma) \] darstellen läßt, unter \(g\) eine Ortsfunktion von \((x,y)\) in \(T\) und \(\sigma\) auf \(S\), unter \(f(\sigma)\) die Randwerte verstanden, und behauptet, daß\ dann \(g(x,y;\sigma)>0\) ist. Für stetig gekrümmte Kurven ist in der üblichen Schreibweise, \(g(x,y;\sigma)=\frac{1}{2\pi}\frac{\partial}{\partial n}G(x,y;\sigma)d\sigma\), und die Behauptung der Arbeit läuft auf den bekannten, von \textit{C. Neumann} als erstem früher bewiesenen Satz \(\frac{\partial}{\partial n}G(x,y;\sigma)>0\) hinaus. Der in der vorliegenden Arbeit gegebene neue Beweis wird durch Zurückführung ad absurdum geführt, ist aber nicht vollständig, da er die Möglichkeit, daß\ \(g(x,y;\sigma)\geqq 0\) sein könnte, außer acht läßt. Der Nachweis, daß\ \(g(x,y;\sigma)\) nicht =0 sein kann, bildet gerade die Hauptschwierigkeit bei den bisherigen Beweisen.