Beweis des Satzes, daß\ von allen homogenen Membranen gegebenen Umfanges und gegebener Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundton besitzt. (Q1468190)

Es wird der Satz bewiesen: Unter allen ebenen Gebieten, die von einer stückweise analytischen Kurve gegebener Länge begrenzt werden, besitzt der Kreis und nur der Kreis den kleinsten möglichen Eigenwert für die Differentialgleichung \(\Delta u+\lambda u=0\) bei der Randbedingung \(u=0\). Der Beweis wird erbracht mittels Annäherung durch Polygone. Es gilt der Satz: Unter allen gleichseitigen Polygonen vorgegebener Länge und gerader Seitenzahl \(2p\) gibt es eines, für das dieser Eigenwert ein Minimum ist, und dieses Polygon hat folgende Symmetrieeigenschaft: es besteht aus \(2p\) kongruenten Dreiecken, die alle einen Eckpunkt \(O\) gemeinsam haben, und von denen je zwei zu der gemeinsamen Seite spiegelbildlich symmetrisch sind. Hieraus folgt die Behauptung durch Grenzübergang. Am Schlusse wird darauf hingewiesen, daß\ analoge Untersuchungen sich auf die Gleichung der schwingenden Platte \(\Delta\Delta u+\lambda u=0\) mit den Randbedingungen \(u=0,\frac{du}{dn}=0\) anwenden lassen (IV 15.)