Sur les valeurs limites de l'intégrale de \textit{Poisson} relative à la sphère en un point de discontinuité des données. (Q1468192)

Die für das entsprechende Problem in der Ebene durch klassische Resultate gelöste Frage nach den Randwerten, welche eine durch das \textit{Poisson}sche Integral definierte Potentialfunktion bei Annäherung an eine Unstetigkeitsstelle der Randfunktion annimmt, wird hier mit elementaren potentialtheoretischen Mitteln in Angriff genommen. Unter naheliegenden Voraussetzungen über die Natur der Unstetigkeiten der Randfunktion werden die Grenzwerte des Potentials in ihrer Abhängigkeit von der Richtung der Annäherung explizite durch Integraldarstellungen ausgedrückt. Besonders bemerkenswert ist das Resultat in dem Falle, wo die Randfunktion beim Passieren einer Linie einen einfachen Sprung macht. Legt man durch die Tangente an die Sprunglinie in dem betrachteten Randpunkte und durch die Tangente an die Annäherungsrichtung eine Ebene, welche mit der Tangentialebene den in geeigneter Weise zu messenden Winkel \(\alpha\) bildet, so hängt der Grenzwert bei Variation des Winkels \(\alpha\) zwischen 0 und \(\pi\) linear von \(\alpha\) ab und stimmt bei \(\alpha=0\) und \(\alpha=\pi\) mit den beiden Grenzwerten der Randfunktion überein, gang analog wie bei dem entsprechenden Problem für die Ebene.