Mittelwertsätze der Potentialtheorie. (Q1468195)

Es handelt sich hier um das folgende Analogon des gewöhnlichen Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Es sei \(f\) eine stetige Funktion der Punkte des Raumes mit stetigen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung. Sind dann \(f_r\), und \(f_r^*\) die Mittelwerte von \(f\) auf und in der Kugel um den Nullpunkt mit dem Halbmesser \(r\), so lassen sich immer zwei Stellen \(p\) und \(p^*\) im Innern der Kugel auffinden, an denen die Beziehungen bestehen \[ \frac{f_r-f_0}{r^2}=\triangle f_p,\frac{f_r^*- f_0}{r^2}=\triangle f_p^*. \]