Untersuchungen über zweidimensionale reguläre Variationsprobleme. I. (Q1468242)

Es wird ausgegangen von der partiellen Differentialgleichung: \[ \frac{\partial}{\partial x}\left(p\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(p\frac{\partial u}{\partial y}\right)+\lambda ku=0, \] in der \(p>0\) sei, \(k\) aber verschiedener Vorzeichen fähig. Sie hat dann für ein Gebiet \(T\) der \(x,y\)-Ebene unendlich viele positive und unendlich viele negative Eigenwerte von \(\lambda\), für die es auf dem Rande \(S\) von \(T\) verschwindende Lösungen \(u\) gibt. Der kleinste positive Eigenwert ist ein einfacher Eigenwert, die zugehörige Eigenfunktion verschwindet nirgends im Innern von \(T\); er wächst; wenn \(T\) sich verkleinert, und wächst ins Unendliche, wenn \(T\) sich auf einen Punkt zusammenzieht. Durch Koordinatentransformation können diese Resultate auf die allgemeine lineare, sich selbst adjungierte partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung vom elliptischen Typus übertragen werden. Die zum Variationsprobleme: \[ \iint f(x,y,z,p,q)dxdy\;\left(p=\frac{\partial z}{\partial x},\;q=\frac{\partial z}{\partial y}\right) \] gehörige \textit{Jacobi}sche Gleichung ist eine solche (falls die notwendige Bedingung von \textit{Legendre} \(f_{pp}f_{qq}-f_{pq}^2>0\) erfüllt ist). Daraus folgt, daß\ die notwendige Bedingung von \textit{Jacobi} so ausgesprochen werden kann: Der kleinste positive Eigenwert \(\lambda_1\) der Gleichung: \[ (1)\quad \frac{\partial}{\partial x}(f_{pp}\zeta_x+f_{pq}\zeta_y)+\frac{\partial}{\partial y}(f_{qp}\zeta_x+f_{qq}\zeta_y)+\lambda \left(\frac{\partial}{\partial x}f_{zp}+\frac{\partial}{\partial y}f_{zq}- f_{zz}\right)\zeta=0 \] muß\ (wenn es positive Eigenwerte überhaupt gibt) \(\geqq 1\) sein. Zum Nachweis des starken Extremums wird nun (im Falle \(\lambda_1>1\)) gezeigt, daß\ die betrachtete Extremalfläche \(z=z(x,y)\) mit einem Felde von Extremalflächen umgeben werden kann. Dieses Feld wird angesetzt in der Form: \[ (2)\quad z=z(x,y)+\varepsilon\zeta(x,y), \] und \(\zeta\) muß\ darin so bestimmt werden, daß\ die angeschriebene Flächenschar eine Schar von Extremalflächen wird. Das ergibt für \(\zeta\) eine (nicht lineare) partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die aus (1) entsteht, indem man die rechte Seite durch eine gewisse Funktion von \(x,y,\zeta,\zeta_x,\zeta_y,\zeta_{xx},\zeta_{xy},\zeta_{yy}\) und \(\varepsilon\) ersetzt. Durch ein Verfahren sukzessiver Approximationen gelingt der Nachweis, daß\ diese Gleichung (bei hinlänglich kleinem \(| \varepsilon| \)) eine Lösung \(\zeta\) besitzt, die am Rande des betrachteten Gebietes vorgeschriebene Werte annimmt. Dieses \(\zeta\) in (2) eingesetzt, liefert das gesuchte Extremalenfeld. Nun wird noch der Fall \(\lambda_1=1\) untersucht (der dem Fall eines von zwei konjugierten Punkten begrenzten Extremalenbogens bei einer unabhängigen Veränderlichen entspricht). Zu geeignet vorgeschriebenen Randwerten findet man dann nicht nur eine, sondern zwei, der Extremale \(z=z(x,y)\) benachbarte Extremalflächen, von denen eine der \textit{Jacobi}schen Bedingung genügt, die andere aber nicht. Die eine (stabile) liefert ein starkes Extremum, die andere (labile) nicht einmal ein schwaches. Es liegt hier ein Fall funktionaler Verzweigung vor, ähnlich dem von \textit{E. Schmidt} in seiner Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen (Math. Ann. 65, 370; F. d. M. 39, 399 (JFM 39.0399.*), 1908) behandelten. (IV 13.)