Konjugierte Punkte und Enveloppen bei speziellen Variationsproblemen. (Q1468263)

Zwei Beispiele zum Prinzipe der kleinsten Aktion: \(\sqrt{U+h}ds\). Für \(U=\pm\frac{1}{y^2}\) sind die Extremalen Kegelschnitte, die Einhüllende der zu einer Geraden \(x=\) konst, transversalen Extremalenschar ist eine Parabel: Für \(U=\pm\frac 1r\) (\(r,\varphi\) Polarkoordinaten) sind die Extremalen Kegelschnitte, die Einhüllende der zu einer Geraden \(\varphi=\) konst. transversalen Extremalenschar ist eine Parabel. Ein Beispiel aus der \textit{geometrischen} Optik: die Brennlinie einer Geraden in einem Medium zu bestimmen, in dem sich die Lichtgeschwindigkeit nach allen Richtungen wie der vom Mittelpunkt aus genommene Radiusvektor einer Ellipse ändert. Werden die vom Mittelpunkt ausgehenden Lichtstrahlen an einer Geraden reflektiert, so zieht sich die Brennlinie auf einen Punkt zusammen; die reflektierte Welle ist eine Ellipse. Das \textit{Hamiltonsche Prinzip} für geradlinige symmetrische Schwingungen eines materiellen Punktes. Die wirkende Kraft wird in der Form -- \(2n y^{2n-1}\) angesetzt, so daß\ es sich um das Integral \(\int(y^{\prime 2}-y^{2n})dx\) handelt, und es werden die Fälle \(n=2,3\) behandelt. Die Extremalen drücken sich durch elliptische Funktionen aus. Diskussion der durch den Nullpunkt hindurchgehenden Extremalenschar hinsichtlich der zum Nullpunkt konjugierten Punkte. Ähnlich verläuft die Untersuchung für das Integral \(\int(y^2+h)ds\). Dieses Integral tritt auch auf bei der isoperimetrischen Aufgabe, die \textit{Kurve größten Trägheitsmomentes} in bezug auf eine Achse bei gegebener Länge zu bestimmen. Auch hier wird der zum Koordinatenursprung konjugierte Punkt untersucht. Endlich wird noch dieselbe Aufgabe für das isoperimetrische Problem \(\delta\int(y'^2+\lambda y^6)dx=0\) behandelt, was wieder mittels elliptischer Funktionen gelingt.