Räumliche Variationsprobleme mit symmetrischer Transversalitätsbedingung. (Q1468264)

Lösung der Aufgabe, alle regulären räumlichen Variationsprobleme mit symmetrischer Transversalitätsbedingung aufzustellen. Es wird gezeigt, daß\ hierfür notwendig und hinreichend folgende Gestalt des Integranden (in Parameterdarstellung) ist: \[ F(x_1,x_2,x_3;x_1',x_2',x_3')=\sqrt{\sum_{i,k=1}^3 a_{ik}(x_1,x_2,x_3)x_i'x_k'}, \] d. h. es handelt sich um die Bogenlänge bei positiv-definiter, sonst beliebiger Maßbestimmung. Als Grundlage des Beweises dient folgender Satz über konvexe Flächen: Eine geschlossene konvexe Fläche mit der Eigenschaft, daß\ jeder ihr umschriebene Zylinder sie längs einer \textit{ebenen} Kurve berührt, ist notwendig ein Ellipsoid. -- Am Schlusse noch die Bemerkung, daß\ für ebene Variationsprobleme ein analoger Satz nicht gilt. (V 6 D.)