Das isoperimetrische Problem bei Doppelintegralen. (Q1468268)

Es werden die Bedingungen für das Verschwinden der ersten Variation für isoperimetrische Probleme bei Doppelintegralen aufgestellt, und zwar für irgend eine Anzahl unbekannter Funktionen, zwischen denen noch endliche Bedingungsgleichungen vorgeschrieben sind, und irgend eine Anzahl isoperimetrischer Nebenbedingungen. Zuerst bei festem Rande (in inhomogener und in Parameterdarstellung), wobei es genügt, den Integrationsbereich als quadrierbar vorauszusetzen. Sodann für den Fall, daß\ ein Stück (oder mehrere Stücke) des Randes auf vorgegebenen Mannigfaltigkeiten variieren kann. Dann wird der Fall behandelt, daß\ auf einzelnen Stücken des Randes isoperimetrische Nebenbedingungen zu erfüllen sind, dann daß\ ein Stück der Raumkurve ein System von Bedingungsdifferentialgleichungen zu erfüllen hat. Das dabei benutzte Verfahren kann auch dazu dienen, die Begründung der \textit{Lagrange}schen Multiplikatorenmethode bei einfachen Integralen von einer einschränkenden Bedingung zu befreien. Die Behandlung des \textit{Lagrange}schen Problems für Doppelintegrale ist noch nicht möglich, doch wird folgender Spezialfall erledigt: Das Integral \[ \iint f\left(x,y,z,u,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)dxdy \] zu einem Extremum zu machen unter der Nebenbedingung \[ \frac{\partial z}{\partial x}=g\left(x,y,z,u,\frac{\partial u}{\partial x}\right). \] In einer Hilfsbetrachtung (S. 75 ff.) wird der \textit{Green}sche Satz in folgender Allgemeinheit bewiesen: Ist \(A(x,y)\) eine stetige Funktion von \(x,y\) in dem einfach zusammenhängenden Bereich \(B\), dessen Berandung \(\mathfrak K\) eine rektifizierbare Kurve ist, so gilt, wenn die Ableitungen \(\frac{\partial A}{\partial x}\) bzw. \(\frac{\partial A}{\partial y}\) in \(B\) summierbar sind: \[ \iint_B\frac{\partial A}{\partial x}dxdy=\int_{\mathfrak K}Ady;\;\iint_B\frac{\partial A}{\partial y}dxdy=-\int_{\mathfrak K}Adx, \] wobei die Integrale der rechten Seite als \textit{Stieltjes}sche Integrale der Funktionen \(x=x(s),y=y(s)\) aufzufassen sind. (IV 3 C.)