Die Transformation von Variationsproblemen. (Q1468272)

Zu einem Variationsproblem der Form \[ (1)\quad \int f(x,y,y')dx \] gehört die \textit{Monge}sche Gleichung: \[ (2)\quad z'=f(x,y,y'), \] und zu dieser die entsprechende \textit{Hamilton-Jacobi}sche Differentialgleichung: \[ (3)\quad q=F(x,y,p). \] Umgekehrt gehört zu jeder partiellen Differentialgleichung der Gestalt (3) eine \textit{Monge}sche Gleichung vom Typus (2) und somit ein Variationsproblem der Form (1). Die Grundrisse der Charakteristiken von (3) sind die Extremalen von (1). Jede (3) genügende Fläche liefert so ein Extremalenfeld, und die Grundrisse der Horizontalschnitte dieser Fläche sind die Transversalen dieses Feldes. Es gibt eine infinitesimale Berührungstransformation, welche die Transversalen der Extremalenfelder unter sich vertauscht; sie wird als die zum Linienelemente \(ds=f(x,y,y')dx\) gehörige infinitesimale Paralleltransformation bezeichnet. Gibt man sich umgekehrt eine infinitesimale Berührungstransformation in der Ebene, so gibt es immer ein Variationsproblem, für das sie die zugehörige Paralleltransformation ist. Gibt man sich eine homogene Berührungstransformation (oder kanonische Transformation) im Raume durch \[ (4)\quad \omega(x,y;x_1,y_1)=0,\;z-z_1=0, \] so führt sie eine Gleichung der Form (3) wieder in eine solche über, und daher ein Variationsproblem der Form (1) wieder in ein solches. Kennt man die Extremalen des einen, so auch die des anderen. Die durch die erste Gleichung (4) gegebene Berührungstransformation in der Ebene führt die Transversalen des ersten Variationsproblems in die des zweiten über. Da durch eine Berührungstransformation der Form (4) je zwei (nichtlineare) Gleichungen (3) ineinander übergeführt werden können, so auch je zwei Variationsprobleme der Form (1), für die \(f\) in \(y'\) nicht linear ist. Wie die Variationsprobleme (1) mit den partiellen Differentialgleichungen (3), so sind die \textit{Mayer}schen Probleme \[ (5)\quad z'=f(x,y,z,y') \] verknüpft mit der allgemeinen partiellen Diiferentialgleichung \[ (6)\quad F(x,y,z,p,q)=0. \] Da durch eine Berührungstransformation jede Gleichung (6) in jede anders transformiert werden kann, so auch jedes \textit{Mayer}sche Problem (5) in jedes andere, insbesondere auch in eines vom Typus (2), d. h. in ein \textit{Lagrange}sches. -- Am Schluß\ noch einige Andeutungen über \textit{Lagrange}sche Probleme in Raume. (IV 8, 12.)