Invariant variational problems (Q1468275)

Es handelt sich um Variationsprobleme, die eine kontinuierliche Gruppe (im \textit{Lie}schen Sinne) gestatten; für diese gelten die beiden Sätze: I. Ist das Integral \(I\) invariant gegenüber einer endlichen, von \(\rho\) Parametern abhängenden Gruppe, so werden \(\rho\) linear-unabhängige Verbindungen der \textit{Lagrange}schen Ausdrücke (d. h. der linken Seiten der zu \(\delta I=0\) gehörigen Variationsgleichungen) zu Divergenzen. II. Ist das Integral \(I\) invariant gegenüber einer unendlichen Gruppe, die von \(\rho\) willkürlichen Funktionen und ihren Ableitungen bis zur \(\sigma\)-ten Ordnung abhängt, so bestehen \(\rho\) identische Relationen zwischen den \textit{Lagrange}schen Ausdrücken und ihren Ableitungen bis zur \(\sigma\)-ten Ordnung. Bei beiden Sätzen gilt die Umkehrung. Satz I ergibt im Fall einer unabhängigen Veränderlichen die Existenz von \(\rho\) ersten Integralen; im Fall von mehr Veränderlichen die oft als ``Erhaltungssätze'' bezeichneten Divergenzgleichungen. Satz II kann als größtmögliche gruppentheoretische Verallgemeinerung der bei der ``allgemeinen Relativitätstheorie'' der Physiker auftretenden Verhältnisse angesehen werden. Als Folgerung aus Satz II wird schließlich noch eine \textit{Hilbert}sche Vermutung über den Zusammenhang zwischen dem Versagen eigentlicher Energiesätze und ``allgemeiner Relativität'' gruppentheoretisch präzisiert und bewiesen. (IV 8, VII.)