Bestimmung einer Geraden durch Ausgleichung der beobachteten Koordinaten ihrer Punkte nach der Methode der kleinsten Quadrate. (Q1468323)

Eine Gerade, deren \(n\) Punkte mit den Koordinaten \(x_i,y_i\) beobachtet sind, ist 1. so zu bestimmen, daß\ \(\sum v_i^2=\sum(b+ax_i-y_i)^2\) ein Minimum: \[ a=\frac{[y]-[xy]\frac{[x]}{[xx]}}{n-[x]\frac{[x]}{[xx]}},\;b=\frac{[xy]-[y]\frac{[x]}{n}}{[xx]-[x]\frac{[x]}{n}} \] mit den Kontrollen \([xv]=0,[v]=0,-[yv]=[vv]\). (Beispiel aus der Theorie der \(\alpha\)-Strahlen). 2. Stellt man die Gerade nach der Normalform auf, so ist \(\sum(-P+x_i\cos\varphi+y_i\sin\varphi)^2=\sum(-p_i)^2\) zum Minimum zu machen: \[ \frac 12\text{tg}2\varphi=\frac{[xy]n-[x][y]}{[y]^2- [x]^2+n[xx]-n[yy]},\;P=\frac 1n([x]\cos\varphi+[y]\sin\varphi). \] 3. Die betreffenden Geraden gehen durch den Schwerpunkt des beobachteten Punktsystems. Die Gewichte der Beobachtung \(x_i\) und \(y_i\) sind nur im 1. Falle einander gleich. Setzt man \[ x=\frac{\cos\varphi}{P},y=\frac{\sin\varphi}{P},v_i^{\prime\prime}=- \frac{p_i}{p}, \] so werden \[ x=\frac{[x][yy]-[y][xy]}{[xx][yy]-[xy]^2},y=\frac{[y][xx]- [x][xy]}{[xx][yy]-[xy]^2}\cdot \] Die mittleren Fehler sind in allen Fällen verschieden. 4. Zum Schluß\ wird noch ein Beispiel aus der Praxis behandelt: Wiederherstellung verloren gegangener Polygonpunkte aus Zwischenpunkten. (VIII 1.)