Richtungs- und Punktkoordinatenausgleichung einer Geraden. (Q1468324)

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der gleichen Aufgabe wie die vorhergehende von \textit{R. Schumann}. 1. Nach vermittelnden \(n\) Beobachtungen: Nimmt man \(x\) als fehlerfrei an, so ist \(\sum(ax_i+b-y_i)^2\) ein Minimum für \[ a=\frac{n[xy]-[x][y]}{n[xx]-[x][x]},\;b=\frac{[xx][y]- [x][xy]}{n[xx]-[x][x]}\cdot \] Ebenso wird die Umkehrung \(\left(x=\frac ba-\frac ya\right)\) behandelt. \(ax+b=y\) enthält den Schwerpunkt. Setzt man also \[ \xi_i=x_i-\frac{[x]}{n},\;\eta_i=y_i-\frac{[n]}{n},\text{ so ist }a=\frac{[\xi\eta]}{[\xi\xi]}\text{ oder }\frac 1a=\frac{[\xi\eta]}{[\eta\eta]}\cdot \] 2. Nach bedingten Beobachtungen: Gegeben sind zwei feste Punkte: \(x_ay_a,x_by_b,a=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a},b=y_a-\frac{y_b- y_a}{x_b-x_a}x_a\). Es soll ein Zwischenpunkt eingeschaltet werden, dessen Koordinaten \(x,y\) beobachtet wurden. Dies geschieht auf dem kürzesten Wege durch die senkrechte Verschiebung. Sind aber auch \(a\) und \(b\) aus mit Fehlern behafteten Koordinaten \(x_ay_a,x_by_b,\dots\) berechnet, so müssen auch sie noch genauer durch die Ausgleichung mitbestimmt werden. Für eine ganz bestimmte Anzahl beobachteter Punkte gibt es nach der Methode der kleinsten Quadrate nur eine einzige richtige Ausgleichsgerade. (VIII 1.)