Über die Treffwahrscheinlichkeit eines Zieles. (Q1468329)

Es handelt sich zunächst um ein instrumentell-graphisches Verfahren, für eine beliebig begrenzte Scheibe bei gegebenen Präzisionsmaßen \(h,k\) und gegebener Lage des Koordinatensystems die Treffwahrscheinlichkeit der Scheibe numerisch zu bestimmen, d. h. den Wert des über die Fläche der Scheibe zu erstreckenden Doppelintegrals \[ (1)\quad W=\frac{hk}{\pi}\iint e^{-h^2x^2-k^2y^2}dxdy. \] Von den mitgeteilten Verfahren ist das einfachste folgendes: Man übertrage die Randkurve der Scheibe nach Reduktion der Maßstäbe der Abszissen und Ordinaten in den Verhältnissen \(1:h,1:k\) in ein Koordinatensystem \(\zeta,\eta\) mit ungleichmäßiger Teilung \[ \xi=\frac{2}{\sqrt \pi}\int_0^x e^{- t^2}dt,\;\eta=\frac{2}{\sqrt \pi}\int_0^y e^{-t^2}dt, \] was mit Hilfe der Tabellen für die \textit{Gauß}sche Fehlerfunktion leicht möglich ist. Dann wird \[ W=\frac 14\iint d\xi d\eta, \] zu erstrecken über die umgezeichnete Scheibe; d. h. \(W\) ist der vierte Teil des Flächeninhalts, also mit einem Planimeter leicht zu bestimmen. Der zweite Teil bezieht sich auf die Aufgabe, bei welcher Lage des Koordinatensystems nimmt das Integral (1) einen größten Wert an? Es gilt folgender Satz: Man denke sich den zylindrischen Körper, der über der Scheibe bis zur Fläche \(z=e^{-h^2x^2-k^2y^2}\), dem Trefferberge, errichtet werden kann, homogen mit Masse gefüllt. Wenn die Treffwahrscheinlichkeit ein Maximum werden soll, so muß\ erstens der mittlere Treffpunkt (Koordinatenanfangspunkt) mit der Projektion des Schwerpunktes des zylindrischen Körpers auf die Scheibenebene zusammenfallen, zweitens müssen die Trefferbildachsen (die Koordinatenachsen) den Hauptträgheitsachsen des Körpers in bezug auf die Scheibenebene parallel laufen. Die Lösung dieser Aufgabe im Sinne der praktischen Mathematik geschieht dadurch, daß\ die aus dem Verschwinden der ersten Ableitungen des Maximumproblems sich ergebenden Gleichungen durch passende Reihenentwicklung näherungsweise aufgelöst werden. Ausführliche zahlenmäßige Durchführung in mehreren praktisch wichtigen Fällen.