Über Punkttransformationen, die die Ebenen des Raumes in kongruente Konoide mit parallelen Achsen überführen. (Q1468741)

Die Punkttransformation wird in zwei Schritten gewonnen: 1. Ein elliptisches Strahlnetz \(\mathfrak M\) (lineare Kongruenz) mit konjugiert imaginären Brennlinien \[ y-ix=0; \quad z-i{\mathfrak b}=0 \text{ und } y+ix=0;\quad z+i{\mathfrak b}=0 \] ordnet jedem Punkt \(p(\mathfrak{x,y,z})\) des Raumes \(\Re\) als ``Netzriß'' den Punkt \(p^w({\mathfrak x}^*, {\mathfrak y}^*)\) der Ebene \(\varPi({\mathfrak z}=0\) zu, in dem der durch \(p\) gehende Netzstrahl \(P\) die Ebene trifft. 2. Der Netzriß wird als ``Grundriß'' eines Punktes \(p^w({\mathfrak x}^*, {\mathfrak y}^*, {\mathfrak z}^*)\) des Raumes \(\Re^*\) aufgefaßt, dessen Koordinate \({\mathfrak z}^*\) mittels einer beliebig, aber fest gewählten Funktion nur von \(\mathfrak z\) abhängt: \({\mathfrak z}^*=f\left( \text{arctg} \,\frac{{\mathfrak z}}{{\mathfrak b}} \right).\) Folgende Sätze seien hervorgehoben: Der Netzriß jeder zu \(\varPi\) parallelen ebenen Figur geht aus deren Grundriß durch eine Drehstreckung hervor. Der Netzriß einer Geraden ist ein Kreis. Die Punkttransformation führt die Strahlen des Netzes \(\mathfrak M\) in die zu \(\varPi\) senkrechten Geraden von \(\Re^*\) über, die zu \(\varPi\) parallelen Geraden in ebensolche Gerade, die zu \(\varPi\) parallelen Ebenen in ebensolche Ebenen, die zu \(\varPi\) nicht parallelen Ebenen von \(\Re\) in kongruente gerade Konoide in \(\Re^*\) mit zu \(\varPi\) senkrechten Achsen. Als Sonderfälle werden die Transformationen betrachtet, welche die Ebenen von \(\Re\) a) in Wendelflächen (\textit{Tuschel}sche Transformation; F. d. M. 42, 697 (JFM 42.0697.*), 1911), b) in gleichzeitige hyperbolische Paraboloide, c) in \textit{Plücker}sche Konoide verwandeln.