Über \textit{Lie}s Kugelgeometrie. (Q1468747)

Die Begriffe \textit{Lie}s: Kreis, Kugel, Element, Verein, Streifen, Berührung sind gruppenfremd, seine Berührungstransformationen nicht eindeutig; sie führen daher, zusammengesetzt zu Vieldeutigkeiten jeden Grades, und sind mit singulären Stellen behaftet. Schon in der ebenen Geometrie kann eine ganz gewöhnliche Berührung durch Transformationen, die ``Kreise'' in Kreise verwandeln, in eine andere Langenbeziehung zweier Kurven oder Vereine übergeführt werden. Ein irreduzibler Kreis ist ein Verein, ein Kreis vom Radius Null ein System von dreien. Eine Transformation, die aus Vereinen wieder ebensolche hervorgehen läßt, kann daher unmöglich einen Kreis in einen Punkt verwandeln. Ebenso ist eine Kugel vom Radius Null ein System von zwei Vereinen. Wenn die Zuordnung zwischen Geraden und Kugeln wirklich eine Berührungstransformation wäre, so würde folgen, daß die gerade Linie ebenfalls reduzibel wäre. Die Flächenelementkoordinaten \(x, y, z, p, q\) zeigen folgende Mängel. Es gibt 1. ganz gewöhnliche Flächenelemente, die sich nicht darstellen lassen, 2. singuläre, die sich darstellen lasen, 3. singuläre, aber nicht darstellbare im Endlichen, 4 abc. verschiedenartige Elemente im Unendlichen, die alle nicht darstellbar sind, 5. 6. usw. Elemente, die den vorigen, oder denen die vorigen in den zu betrachtenden Berührungstransformationen entsprechen, und die dabei auch wieder zu den Typen 1. 2. 3. 4 gehören können. Eine ``beliebige'' Gerade des Raumes läßt sich nicht immer durch \(x=rz+\varrho, y=sz+\sigma\) darstellen. -- Die vom Verf. angekündigte Neubearbeitung der \textit{Lie}schen Kugelgeometrie hat, obwohl bereits seit Jahren im Manuskript fertig, noch immer nicht im Druck erscheinen können. (V 5 E.)