Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche. Vols. I, II. Pubblicate per cura del Dott. Oscar Chisini (Q1468968)

Das groß angelegte Werk ist aus den Vorlesungen hervorgegangen, die der Verf. an der Universität Bologna gehalten hatte. Die beiden Bände, die ein organisches Ganzes bilden, zerfallen in vier Abschnitte und insgesamt vierzehn Kapitel. Der erste Abschnitt (Libro primo) bildet eine Einleitung im Großen und ist verschiedenen vorbereitenden, elementaren Betrachtungen gewidmet. Der zweite Abschnitt beschäftigt sich mit dem Prinzip der Korrespondenz und seinen Anwendungen (Il principio di correspondenza e le sue applicazioni). Der dritte bringt eine elementare Theorie ebener algebraischer Kurven, auf Grund der Polaritätseigenschaften, der vierte behandelt Singularitäten ebener algebraischer Kurven. Nun zu dem Inhalt im einzelnen: \textit{Abschnitt I, Kap. I.} Die Gleichung \(f(x)=0\) und Systeme von Punkten auf einer Geraden (S. 3--53). -- Elementare Betrachtungen über Invarianten und Kovarianten binärer Formen, insbesondere der Formen dritten und vierten Grades. Als eine Anwendung ergibt sich hier die Auflösung der Gleichungen dritten und vierten Grades. In dem achten, Schlußparagraphen des I. Kapitels (S. 48--53), finden sich historische Angaben zur Invariantentheorie. \textit{Kap. II.} Die Gleichung \(f(x, y)=0\) als eine ebene Kurve oder eine Korrespondenz zwischen Elementen zweier Punktreihen, Strahlenbüschel u. dlg. (S. 55--126): Elemente der Theorie algebraischer Kurven. Die Kurve und eine Sekante. Tangenten. Mehrfache Punkte. Bestimmung der Kurve durch vorgegebene Punkte. Lineare Scharen von algebraischen Kurven (Sistemi lineari di curve). Invarianten und Kovarianten einer ternären Form \(n\)-ten Grades. Die Gleichung \(f(x, y)=0\) und eine \(([m, n]\)-deutige) Beziehung zwischen Elementen zweier Grundgebilde erster Stufe. Quadratische Transformation. Bemerkungen über geometrische Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen. Historische Notizen. \textit{Kap. III.} Über die Bedeutung des Ausdrucks ``im allgemeinen'' und die Abzählung der Konstanten (S. 127--153): ``Paradoxien des Unendlichen'', Abzählbarkeit, Mächtigkeit, algebraische Mannigfaltigkeiten in einem mehrdimensionalen Raume. Zerlegbarkeit und Unzerlegbarkeit. Abzählung der Konstanten. Verträglichkeit (la compatibilità) algebraischer Gleichungen und das Prinzip von Plücker und Clebsch. \textit{Abschnitt II, Kap. I.} Die Involution und endliche Gruppen von Projektivitäten auf einer Punktreihe (S. 157--220). -- Ein-zweideutige Beziehung zwischen den Elementen einer Punktreihe und involutorische Projektivität. Involution \(n\)-ten Grades und der Satz von Lüroth. Doppelpunkte einer Involution \(n\)-ten Grades. Der Satz von Bertini. Bestimmung einer Involution mit vorgeschriebenen Doppelpunkten. Zusammensetzung von Involutionen. Zyklische Involutionen. Involutionen vierten Grades. Endliche Gruppen von Projektivitäten auf einer Punktreihe. Historische Notizen über Polyedergruppen. \textit{Kap. II.} Elementare Theorie ebener algebraischer Kurven (S. 221--331); Historische und bibliographische Notizen. Schnittpunkte zweier Kurven. Lineare Büschel ebener Kurven \(n\)-ter Ordnung und ds Prinzip von Lamé. Das Cramersche Paradoxon. Sätze von Gergonne, Jacobi und Cayley über Schnittpunkte zweier ebener algebraischer Kurven. Projektivität zwischen zwei linearen Büscheln ebener Kurven und projektive Erzeugung algebraischer Kurven nach \textit{Steiner}. Historische Notizen. Klasse einer algebraischen Kurve und das Paradoxon von \textit{Poncelet}. Wendpunkte. Anzahl der Wendepunkte einer Kurve \(n\)-ter Ordnung ohne Doppelpunkte. Plückersche Formeln. Spezielles über ebene Kurven dritter Ordnung. Rang einer ebenen Kurve und seine Invarianz gegenüber quadratischen Transformationen. Der Rang einer Korrespondenz und die Diskriminante einer algebraischen Funktion. Einparametrige Scharen algebraischer Kurven und Sätze von de Jonquières und Chasles. Bemerkungen über abzählende Geometrie. Kurve vierter Ordnung als Umhüllende eines vierfach berührenden Kegelschnittes. Die Konfiguration der Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung. \textit{Kap. III.} Bemerkungen über algebraische Funktion und geometrische Darstellung des Imaginären (S. 333--386). Historisches über geometrische Darstellung imaginärer Größen. Funktionen einer komplexen Veränderlichen: Grundbegriffe und Fundamentalsätze. Algebraische Funktionen. Riemannsche Flächen. Allgemeines über die Art des Zusammenhanges einer Fläche. Der Eulersche Satz über Polyeder und topologische Bedeutung des Ranges einer algebraischen Kurve. Normaltypen geschlossener Flächen und der Satz von \textit{Lüroth} und \textit{Clebsch}. (Zweiter Band.) \textit{Abschnitt III, Kap. I.} Polaritätsbeziehungen und kovariante Kurven (S. 3--76). Die zu einer kurve polaren Kurven. Die \textit{Jacobi}sche Kurve einer zweiparametrigen linearen Schar ebener algebraischer Kurven. Die \textit{Hesse}sche Kovariante einer ebenen algebraischen Kurve. Polarformen zweier gegebenen ternären Formen im allgemeineren Sinne und Darstellung einer ternären Form \(n\)-ter Ordnung in Form einer Summe \(n\)-ter Potenzen linearer Formen. Historische Notizen. \textit{Kap. II.} Schnittpunkte zweier Kurven. Plückersche Zahlen einer Kurve (S. 77--188). Resultate zweier algebraischer Gleichungen. Bedeutung singulärer Punkte bei der Bestimmung der Schnittpunkte zweier Kurven. Schnitt zweier algebraischer Mannigfaltigkeiten. Klasse einer algebraischen Kurve. Cayleysche Zahlen in der Theorie algebraischer Raumcurven. Formen von Salmon in der Theorie algebraischer Flächen. Doppelpunkte der Kurven einer zweiparametrigen linearen Schar. Charakteristische Zahlen der Hesseschen und der Steinerschen Kurve einer allgemeinen Kurve \(n\)-ter Ordnung. Historische Notizen. \textit{Kap. III.} Ebene Kurven dritter Ordnung (S. 189--240). Der Satz von Salmon über das Dopperverhältnis der vier Tangenten, die von einem Punke einer kubischen Kurve ohne Doppelpunkt an diese gelegt werden können. Projektivität zwischen zwei ebenen Kurven dritter Ordnung. Die Aronholdschen Invarianten und die Normalgleichung der Kurve (ohne Doppelpunkt). Realitätsverhältnisse. Wendepnkte. Die Cayleysche Kurve einer Kurve dritter Ordnung. Die zu einer Kurve dritter und vierter Ordnung. Klassifikation der Kurven dritter Ordnung. Der Satz von Harnack über die Anzahl reeller Züge einer Kurve \(n\)-ter Ordnung. Analytische Darstellung reeller Züge. Historisches über das Prinzip Stetigkeit und insbesondere über die Ergebnisse von Poncelet nebst kritischer Würdigung dieser. Notizen über die historische Entwicklung der abzählenden Geometrie und Bestimmung charakteristischer Zahlen ebener Kurven. Ermittelung des Grades der von einer eine algebraisch Raumcurve dreifach schneidenden Geraden erzeugten Linienfläche sowie der Anzahl der sie vierfach treffenden Geraden als Illustration der Methoden der abzählenden Geometrie. Notizen über die Vielfachheit der Lösungen eines Abzählungsproblems. Auftreten unendlich vieler Lösungen. Das symbolische Kalkül von Schubert. Kritische Würdigung des Prinzip der Aufrechterhaltung der Anzahl. \textit{Abschnitt IV, Kap. I.} Singularitäten algebraischer Kurven und Entiwicklung in unendliche Reihen nach \textit{Puiseux} (S. 327--399). Trennung einzelner Zweige einer algebraischen Kurve in der Umgebung eines Windungspunktes nach \textit{Puiseux}. Singularitäten der Zweige erster Ordnung (rami lineari) an Hand der Reihenentwicklung. Zweige zweiter und höherer Ordnung. Allgemeine Analyse der Singularitäten eines Kurvenzuges: Charakteristische Zahlen einer \textit{Puiseux}schen Reihe, charakteristisches Symbol (simbole caratteristiche), graphisches Schema. Kurven mit vorgeschriebenen Multiplizitätsziffern. \textit{Kap. II.} Verhalten von Singularitäten einer algebraischen Kurve gegenüber einer quadratischen Transformation (S. 401--458). Satz von Noether über die Transformation einer beliebigen ebenen algebraischen Kurve in eine Kurve mit vielfachen Punkten mit getrennten Tangenten. Der Rang und die Plückerschen Formeln. Kurven mit vorgeschriebenen Singularitäten. Polarkurven. Puiseuxsche Reihe. \textit{Kap. III.} Behandlung der Singularitäten vom Standpunkte der Differentialrechnung (S. 459--544). Formales über Differentiation zusammengesetzter Funktionen. Differentialbeziehungen, die die Multiplizitätsziffern eines linearen oder nichtlinearen Zweiges des Kurve charakterisieren. Die Puiseuxschen Entwicklungen und die Methode von Newton und Cramer. Realitätsverhältnisse. Historische Notizen. \textit{Kap. IV.} Anhang über die Singularitäten algebraischer Raumkurven und Flächen (S. 545--686). Jede algebraische Kurve kann aufgefaßt werden als Projektion einer algebraischen, mehrdimensionalen Raumcurve ohne singuläre Punkte. Singularitäten einer algebraischen Raumcurve und quadratische Transformationen des Raumes. Analyse der Singularitäten in Parameterdarstellung. Singuläre Punkte einer algebraischen Fläche: isolierte mehrfache Punkte, mehrfache Kurven. Vielfache Punkte der mehrfach zu zählenden Kurven. Verhalten der Polarflächen gegenüber Singularitäten der Fläche. Darstellung der einzelnen Blätter (``falde'') der Fläche in der Umgebung eines singulären Punktes. Historisches. Die vorstehende Übersicht wird kaum eine ausreichende Vorstellung von dem reichhaltigen Inhalt des mit behaglicher Breite und darum leicht lesbar abgefaßten wertvollen Werkes vermitteln. Es sei noch zum Schluß bemerkt, daß dem Leser durch zahlreiche Zitate und historische Notizen ein weiteres Eindringen in den Gegenstand erleichtert wird. Zahlreiche Exkurse in Nachbargebiete geben eine Möglichkeit, sich auch über andere Kapitel der Geometrie zu orienteren.