Sulla teoria delle singolarità delle curve algebriche. (Q1468974)

Das Fundamentalproblem der Singularitäten einer ebenen Kurve ist, die sukzessiven vielfachen Punkte eines Zweiges zu bestimmen, der durch die Parameterdarstellung \(x=t^{\nu}\), \(y=at^{\nu'}+bt^{\nu''}+\cdots\) gegeben ist. Die Lösung kommt schließlich auf die Untersuchung des größten gemeinsamen Teilers der Zahlen \(\nu, \nu', \nu'', \dots\) hinaus. Die zugehörige Analyse läßt sich indessen in eine verallgemeinerungsfähige Gestalt bringen, die auch auf den Fall der Flächen übertragbar ist: Sie beruht auf \textit{Puiseux}schen Reihenentwicklung, von denen aber nur eine endliche Anzahl von Gliedern gebraucht werden, so daß man auf das Rechnen mit Polynomen zurückommt, d. h. auf die Untersuchung der sukzessiven vielfachen Punkte einer rationalen Kurve \(\varphi: x=\frac{\varphi_1(t)}{\varphi_3(t)}, x=\frac{\varphi_2(t)}{\varphi_3(t)}\) in der Nähe des Punktes \(t=t_0\), wo man mit Rücksicht auf die \textit{Puiseux}schen Reihenentwicklungen \(\varphi_3(t)=1\), \(\varphi_1(t)=t^{\nu}\) nehmen darf. Dem Anfgangspunkte \(O\), mit der Multiplizität \(\nu\) möge der Wert \(t=0\) entsprechen. Dann lassen sich die, \(O\) benachbarten sukzessiven vielfachen Punkte der Kurve \(\varphi\) in folgende Anordnung bringen: 1) der Punkt \(O\) selbst, der als Punkt der Multiplizität \(\nu\) zugleich auf der Kurve \(\varphi\), wie auf einer aus ihr durch Transformation hervorgehenden Kurve \(\varphi_r\) auftritt; 2) der \(O\) benachbarte Punkt \(O_1\), der in seiner Multiplizität zugleich auf einer durch Projektion aus \(\varphi_r\) entstehenden \(\varphi_r'\) erscheint; 3) der dann benachbarte Punkt \(O_2\), zugleich auf einer Projektion \(\varphi_r''\) von \(\varphi_r'\), usf. Diese geometrische Konstruktion läßt sich in einen einfachen algebraischen Prozeß umsetzen, der von den Resten der sukzessiven Divisionen beim Aufsuchen des größten gemeinsamen Teilers von \(\nu\) und \(\nu'\) usf. wesentlich abhängt. Das Verfahren läßt sich auch auf die sukzessiven Punkte eines Zweiges einer beliebigen Kurve in einem \(S_n\) ausdehnen. (IV 6 C.)