Sui complessi lineari di schiere rigate o regoli. (Q1469111)

Die Geraden des gewöhnlichen Raumes \(S_3\) lassen sich in bekannter Weise abbilden auf die Punkte einer quadratischen Hyperfläche \(R\) des \(S_5\). Die Schnitte von \(R\) mit den ``Ebenen'' der \(S_5\) sind im Allgemeinen die Bilder von Scharen geradliniger Erzeugender gewöhnlicher \(F_2\); gehören aber die Ebenen \(R\) selbst an, so tritt eine Ausartung der Bilder in Strahlenbüschel und Geradenfelder ein. Alle solche Scharen werden als ``Regelscharen'' bezeichnet; für solche lassen sich vermöge der Abbildung neue Eigenschaften ableiten. Man hat \(\infty^9\) Regelscharen: im Allgemeinen bestehen sie aus inzidenten Paaren, die derselben \(F_2\) angehören. Zwei Regelscharen, die derselben linearen Geradenkongruenz angehören, bestimmen ein ``Büschel'', die zugehörigen \(F_2\) bilden dann ebenfalls ein Büschel mit gemeinsamen windschiefen Vierseit. Ein ``linearer Komplex'' \(\varGamma\) von Regelscharen ist dadurch charakterisiert, daß sich in irgend einem (allgemeinen) Büschel von Regelscharen nur ein Individuum des Komplexes befindet, es gibt \(\infty^{19}\) solcher Komplexe. Liegt ein solcher linearer Komplex \(\varGamma\) vor, so bilden die jeweils inzidenten Regelscharen einen zweiten solchen ``assoziierten'' Komplex. Zwei assoziierte Komplexe fallen nur in zwei gewissen Spezialfällen zusammen. Zu jedem \(\varGamma\) gehören invariant verbunden zwei Flächen zweiten Grades \(f, \varphi; f\) ist der Ort der Zentra der Regelscharen in \(\varGamma\), und dualistisch \(\varphi\) das Umhüllungsgebilde der entsprechenden Geradenfelder. Mit diesen beiden Flächen \(f, \varphi\) sind wiederum zwei ausgezeichnete Regelscharen \(\alpha, \beta\) von \(\varGamma\), deren ``Angeln'', verknüpft. Die Beziehungen zwischen diesen Gebilden werden weiter verfolgt.