Über die algebraische Darstellung der verknoteten und verketteten algebraischen Raumkurven. (Q1469129)

Eine Raumkurve heiße verknotet, wenn sie geschlossen ist und nicht die Begrenzung eines singularitätenfreien Flächenstückes ist. Zwei Raumkurven mögen unverkettet heißen, wenn jede für sich in ein Elementarraumstück eingeschlossen werden kann, das keinen Punkt mit der anderen Kurve gemeinsam hat. Der Verf. zeigt in der vorliegenden Arbeit, wie man beliebig verknotete und verkettete Raumkurven algebraisch darstellen kann. Ist \(K\) die Raumkurve, so werde sie auf eine Ebene \(\sum\) senkrecht projiziert in die Kurve \(C\). Man kann \(\sum\) immer so wählen, daß \(C\) nur gewöhnliche Doppelpunkte mit getrennten Tangenten hat und sonst keine mehrfachen Punkte. Wir wollen uns in diesem Referat auf den Fall beschränken, wo \(K\) keine reellen unendlich fernen Punkte hat und \(C\) auch nicht. Die Art der Verknotung oder Verkettung von \(K\) kann dadurch angegeben werden, daß man in jedem Doppelpunkte von \(C\) an den einen Zweig + und an den andern \(-\) schreibt, was bedeuten soll, daß der Zweig von \(K\), dessen Projektion das \(+\)-Zeichen hat, oberhalb der andern verlaufen soll. Dabei sei die Ebene \(\Sigma\) horizontal angenommen. Hat \(C\) zusammen \(k\) Doppelpunkte, so entspricht jeder der \(2^k\) möglichen Zuordnungen der Zeichen + und \(-\) eine topologisch ganz bestimmte Raumkurve. Will man eine solche Raumkurve algebraisch bestimmen, so wähle man in \(\Sigma\) ein \(x, y\) Koordinatensystem und senkrecht dazu eine \(z\)-Achse. Es seien \(\varphi=0\) und \(\psi=0\) zwei Kurven in \(\sum\), die durch die Doppelpunkte von \(C\) einfach gehen, sich und \(C\) nicht berühren. Wie der Verf. zeigt, kann man \(\varphi\) und \(\psi\) immer so wählen, daß \(\varphi\psi\) in der Nähe eines jeden Doppelpunktes von \(C\) auf dem mit + bezeichneten Zweige positiv und auf dem andern negativ ist. Ist \(f=0\) die Gleichung von \(C\), so ist die gewünschte Raumkurve gegeben durch die Gleichungen \[ f(x, y)=0,\;z=\frac{\varphi(x, y)}{\psi(x, y)}. \] Zum Schluß wird das Verfahren angewandt auf die algebraische Darstellung der einfachsten verknoteten Raumkurve, der Kleeblattschlinge.