\textit{Dupin}'s cyclide as a self-dual surface. (Q1469154)

Eine Korrelation zwischen den Punkten und Ebenen des Raumes ist bestimmt, wenn fünf beliebigen Punkten fünf beliebige Ebenen zugeordnet werden. Führt die Korrelation die Punkte einer Fläche in ihre Tangentialebenen über, so heißt die Fläche eine ``selbstduale''; sie ist von derselben Ordnung und Klasse, und ihre Singularitäten entsprechen sich dual. Das bekannteste Beispiel bietet die \textit{Kummer}sche Fläche; weiter gehört hierher die \textit{Dupin}sche Zyklide. Das Hauptziel des Verf. ist bei gegebener Zyklide eine Gruppe von Korrelationen zu finden, die die Fläche in sich überführen. Die Zyklide ist eine Fläche vierter Ordnung mit vier Doppelpunkten und einem Doppelkegelschnitte im Unendlichen (in der \(E_{\infty}\) mit \((x)\) bezeichnet, ist ferner \((\beta x)\) eine beliebige Ebene und \((\gamma x)^2\) eine beliebige \(F_2, \alpha\) eine Konstante, so ist die Form einer \(F_4\) mit Doppelkegelschnitt in \(E_{\infty}\): \[ \alpha Q^2+(\beta x)(x)Q+(\gamma x)^2(x)^2=0, \] wo \(Q\) eine den Kegelschnitt anschneidende \(F_2\) ist. Nimmt man die vier Doppelpunkte als Koordinatenecken, dann wird die Gleichung der Zyklide, mit \(\infty\) und \(\mu\) als Parametern: \[ (x_0x_2+\mu x_1x_3)^2+\lambda(x)\{x_0x_2(x_1+x_3)-\mu x_1x_3(x_0+x_2)\}=0. \] Darauf werden die vier Doppeltangentialebenen und der Doppelkegel, die den vier Doppelpunkten resp. dem Doppelkegelschnitt dual entsprechen, ermittelt. Dann bilden die vier Doppelpunkte und die Spitze des Doppelkegels nebst den dualen Elementen die gewünschten fünf Paare der Korrelation, deren Gleichung aufgestellt wird. Als Hilfsmittel dienen dabei vier Polaritäten in bezug auf vier Flächen zweiter Ordnung \(Q_i\) \((i=1, \dots, 4)\), die die Punktsingularitäten der Zyklide in ihre dualen transformieren. Zwischen den vier \(Q_i\) bestehen gewisse Relationen. Von besonderem Interesse sind die vier ``pinchpoints'' der Fläche nebst ihren Dualen. Hieraus läßt sich ableiten, daß die Zyklide gegenüber vier Polaritäten selbstdual ist, womit zugleich eine geeignete Abbildung der Fläche auf die Ebene geliefert wird. Hierbei spielen eine besondere Rolle der Doppelkegelschnitt und die fünf Reihen von Ebenen mit rationalen Schnitten; die Abbildungen der letzteren verteilen sich auf fünf verschiedene Typen. Daraufhin läßt sich die Gruppe der Korrelationen der Fläche im einzelnen verfolgen, nebst der Gruppe der \textit{Cremona}-Transformationen in der Bildebene. So zeigt sich, daß die aus der Korrelationsgruppe hervorgehende Korrespondenz auf der Fläche zwischen einem Punkt \(y\) und der Berührungsebene eines Punktes \(x\) in der Bildebene eine \textit{Cremona}-Gruppe erzeugt mit der nämlichen Korrespondenz.