Sul modello minimo della varietà delle \(n\)-ple non ordinate dei punti di un piano. (Q1469236)

Man kann die \(\infty^N\) \(\left( \text{wo } N=\frac{n(n+3)}{2} \right)\) ebenen Kurven \(n\)-ter Ordnung durch die \(R_{N-1}\) eines \(R_N\) und die \(\infty^N\) Einhüllenden derselben Klassen durch die Punkte desselben Raumes darstellen. Dabei entsprechen zwei ``konjugierten'' Kurven der Ordnung und Klasse \(n\) eine Hyperebene und ein Punkt in vereinigter Lage. Infolgedessen entsprechen den Gruppen von \(n\) Punkten (als zerfallende Kurven \(n\)-ter Klasse betrachtet) die Punkte des ``Modells'' \(M_{2n}\), dessen Untersuchung den Hauptzweck der vorliegenden Abhandlung bildet. Die Ordnung von \(M_{2n}\) ist \(1. 3. 5\dots (2n-1)\); die in ihm enthaltenen \(i\)-dimensionalen linearen Räume bilden \(n- i+1\) algebraische Systeme der Stufe \(0, 1, \dots, (n-i)\); das System \(k\)-ter Stufe enthält \(2n+(i-1)(k-2)\) Parameter und erfüllt eine in \(M_{2n}\) enthaltene Mannigfaltigkeit, der Dimension \(2(n+1)-(k+i)\). Den Punktgruppen der Ebene, deren Elemente zusammenfallen, entsprechen die Punkte einer rationalen Fläche \(\varPhi\) von der Ordnung \(n^2\). Die Mannigfaltigkeit \(M_{2n}\) kann eindeutig durch einen \(R_{2n}\) dargestellt werden; die in ihr enthalten algebraischen \((2n-1)\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten sind ohne Ausnahme ``Vollschnitte''; daher ist \(M_{2n}\) eine ``normale'' Mannigfaltigkeit. Zum Schluß betrachtet der Verf. die Projektivitäten und die Korrelationen, welche die Punkte von \(M_{2n}\) in sich selbst oder in die entsprechenden oskulierenden Räume überführen.