Sui complessi lineari di piani nello spazio a cinque dimensioni. (Q1469237)

Bedeuten \(x_i, y_i, z_i\) \((i=1, 2, \dots, 6)\) die homogenen Koordinaten dreier Punkte des \(R_5\) so kann man nach \textit{Graßmann} als homogene Koordinaten der durch diese bestimmten Ebene die dreigliedrigen Determinanten \(P_{ihk}\) der Matrix \[ \begin{vmatrix} x_1x_2\cdots x_6 \\ y_1y_2\cdots y_6 \\ z_1z_2\cdots z_6 \end{vmatrix} \] wählen. Infolgedessen ist die Gleichung (1) \(\sum p_{ihk}p_{lmn}'=0\), wo \(i, h, k, l, m, n\) eine gerade Permutation der Zahlen \(1, 2, \dots, 6\) bedeutet, die Koinzidenzbedingung der Ebenen \(p, p'\). Eine allgemeine lineare homogene Gleichung \(\sum c_{ihk}p_{lmn}=0\) stellt einen linearen Ebenen-Komplex dar; in \(R_5\) sind \(\infty^{19}\) lineare Komplexe enthalten. Wenn die Konstanten \(C_{ihk}\) Koordinaten einer Ebene bedeuten, so heißt dieselbe der ``Kern'' des Komplexes. Betrachtet man einen Raum \(R_{19}\), dessen Punkte die \(p_{ihk}\) als homogene Koordinaten haben, so bilden seine Punkte, welche die Ebenen von \(R_5\) darstellen, eine Mannigfaltigkeit \(V_9^{24}\), während der bilinearen Beziehung (1) ein gewisses Nullsystem \(N\) entspricht. Sind \(m, n, p\) drei linear-abhängige Geraden des \(R_5\), so bestimmen diejenigen Ebenen dieses Raumes, welche einem linearen Komplex angehören, auf denselben Punkttripel, zwischen denen eine trilineare Beziehung besteht. Ein linearer Ebenen-Komplex gehört i. A. einem einzigen Komplex-Büschel an, welches zwei mit Kernen versehene Komplexe enthält. Diese Betrachtung führt auf eine Klassifikation der Ebenen-Komplexe, welche schon früher von anderen Geometern (\textit{Landsberg, Reichel, Weitzenböck, Veneroni}) angedeutet wurde. Andere wichtige Entwicklungen des Verf. betreffen die Erzeugung eines linearen Ebenen-Komplex, die Berührungsebenen von \(V_9^{24}\) und die Mannigfaltigkeit \(W_{18}^4\), welche dieselben bilden, die Büschel der linearen Ebenen-Komplexe usw., und führen auf Resultate, welche umso wichtiger sind, weil sie ohne Zweifel auf höhere Räume auszudehnen sind. Die Untersuchungsmethode ist außerorderlich einfach; sie stützt sich auf einfache Rechnungen in homogenen Koordinaten.