Flächentreue Abbildungen in der Ebene. (Q1469262)

Die \textit{Gauß}sche Darstellung der gleichsinnig flächentreuen Abbildung innerhalb der Doppelebene wird ersetzt durch die folgende: \[ x=u+\omega_v,\quad y=v-\omega_u,\quad x'=u-\omega_v,\quad y'=v+\omega_u, \] worin \(x, y\) und \(x', y'\) rechtwinklige Koordinaten in den beiden Ebenen, \(u, v\) Mittelpunktsparameter zweier einander bei der Abbildung entsprechender Punkte \((x, y)\) und \((x', y')\) bedeuten und \(\omega\) eine Funktion von \(u, v\) ist, die bloß an die Bedingung \[ \omega_{uu}\omega_{vv}-\omega_{uv}^2 \neq -1 \] gebunden ist. Diese analytische Beziehung stellt jede gleichsinnig flächentreue Abbildung in der Doppelebene entweder direkt oder doch, nachdem man die eine Ebene durch eine Bewegung in eine andere Lage zur anderen Ebene gebracht hat, dar. Das Mißliche dieser letzten Einschränkung wird beseitigt durch gewisse räumliche Betrachtungen, die gestatten, ganz allgemein auf einheitliche Art alle Abbildungen zu erhalten. Die Lösung führt dann noch zu Beziehungen zwischen der gestellten Aufgabe und einer Schar von Berührungstransformationen des Raumes.