Sulla curvatura delle sperficie e varietà. (Q1469394)

Das Ziel dieser Arbeit ist, gewisse Grenzformeln für das \textit{Gauß}sche Krümmungsmaß \(K\) einer Fläche, die von \textit{Gauß, Riemann, Lambert} und von \textit{Levi-Civita} aufgestellt worden sind und von denen insbesondere der von \textit{Levi-Civita} eine einfache Verallgemeinerung für höhere Mannigfaltigkeiten im Sinne des \textit{Riemann}schen Krümmungsmaßes gestattet, auf geometrischem Wege abzuleiten. Zu diesem Zwecke geht der Verf. von einem orthogonal-geodätischen Polarkoordinatensystem mit dem Pole \(P\) und den Polarkoordinaten \(\varrho, \vartheta\) aus und führt weiter die ``krummlinigen kartesischen Koordinaten'' auf der Fläche mittels der Formeln \[ u=\varrho\frac{\sin(\omega-\theta)}{\sin\omega}, v=\varrho\frac{\sin\theta}{\sigma\omega} \] ein. Danach wird eine Umgebung des Punktes \(P\) der Fläche durch einen Parameter \(\varepsilon\) definiert, indem \(u=\varepsilon x, v=\varepsilon y\) gesetzt wird. Die Fläche wird sodann auf eine Kugel vom Radius \(R=\frac{1}{\sqrt K}\), wobei \(K\) das \textit{Gauß}sche Krümmungsmaß der Fläche in \(P\) bedeutet, derart abgebildet, daß einem Punkte \((\varrho, \theta)\) der Fläche ein Punkt mit der Poldistanz \(\varrho\) und der geographischen Länge \(\theta\) der Kugel entspricht. Dann kann man leicht zeigen, daß die Differenz der Längen irgend zweier entsprechender Bögen auf der Fläche und auf der Kugel in der Umbebung von \(P\) die Größenordnung \(\varepsilon^4\) hat, die Differenz entsprechender Winkel von der Ordnung \(\varepsilon^3\) ist, und daß in der Umgebung von \(P\) die sphärische \((K>0)\) oder pseudoshärische \((K<0)\) Trigonometrie bis auf Größen von mindestens der Ordnung \(\varepsilon^3\) gilt. Dies bedeutet es, wenn der Verf. sagt, die Fläche sei in der Umgebung von \(P\) näherungsweise auf die Kugel vom Radius \(R\) abgewickelt. Zieht man in der Umgebung von \(P\) zu irgendeiner geodätischen Linie in konstanter, unter dem Winkel \(\omega\) abgetragener geodätischer Entfernung eine Äquidistante, so entspricht ihr bei der angenäherten Abwicklung auf die Kugel ein Parallelkreis bis auf Größen von der Ordnung \(\varepsilon^4\). Diese Betrachtungen werden nun zu einfachen Beweisen der Formeln für \(K\) benutzt: Sind \(a, b, c\) die Seitenlängen eines geodätischen Dreiecks, \(\alpha\) der Winkel bei der Ecke \(A\), so ist in \(A\) das Krümmungsmaß \[ K_A=3\lim\frac{b^2+c^2-a^2-2bc\cos\alpha}{b^2c^2\sin^2\alpha}, \] wo der lim für den Fall zu verstehen ist, daß das Dreieck auf \(A\) zusammenschrumpft. Ebenso gilt die \textit{Darboux}sche Formel \[ 3K_A+K_B+K_C=12\lim\frac{b^2+c^2-2bc\cos\alpha- a^2}{b^2c^2\sin^2\alpha}. \] Ist \(PP'QQ'\) ein geodätisches Viereck, in dem die beiden Gegenseiten \(PP'\) und \(QQ'\) gleiche Längen haben und mit der Grundlinie \(PQ\) gleiche Winkel \(\omega\) bilden, so ist \[ K_P=\lim\frac{\overline{PQ^2}- \overline{P'{Q'}^2}}{\varDelta^2}, \] wo \(\varDelta=PQ\cdot P'Q'\cdot \sin\omega\) den Inhalt des ``Parallelogrammoids'' bedeutet. Diese Formel rührt von \textit{Levi-Civita} her. Auf einer Fläche konstanter Krümmung gilt dieselbe Formel (ohne lim) für endliche Vierecke, falls die ``Gegenbasis'' \(P'Q'\) eine geodätische Parallele zur geodätischen Basis \(PQ\) ist. Es seien ferner \(PQ\) und \(PP'\) zwei von \(P\) ausgehende geodätische Bögen, und \(QQ', P'Q'\) die beiden andern Seiten eines so entstehenden Vierecks, die durch zwei Kurven \(u=\)const., \(v=\) const. des krummlinigen kartesischen Koordinatensystems \((u, v)\) mit den Achsen \(PQ(v=0)\) und \(PP'(u=0)\) bestimmt werden, so ist nach \textit{Riemann} \[ K_P=3\lim\frac{\overline{PQ^2}- \overline{P'{Q'}^2}} {\varDelta^2}. \] Bei der Erweiterung auf höhere Mannigfaltigkeiten, die sich mit Hilfe des Begriffs der geodätischen Fläche in üblicher Weise durchführen läßt, wird bewiesen, daß die Formel von \textit{Levi-Civita} zu demselben Grenzwert führt wie die \textit{Riemann}sche. (V 6 E.)