Über Raumkurven, deren Krümmung und Torsion einer Relation zweiten Grades genügen. (Q1469412)

Es sei \(k\) die (erste) Krümmung, \(\kappa\) die Windung einer doppelt gekrümmten Kurve, und es bestehe die Beziehung \[ Ak^2+B\kappa^2+Ck\kappa+Dk+E\kappa+F=0. \] Die Raumkurven solcher Art besitzen folgende Eigenschaften (zusammengestellt im Art. 10 der vorliegenden Arbeit): Es gibt \(\infty^1\) Punkte, die bei fester Verbindung mit dem begleitenden Dreikant der Kurve isogonale Trajektorien beschreiben auf den Regelflächen von Geraden, die fest mit dem Dreikant verbunden sind. Unter der Bedingung \[ B=\frac{C(ED-2CF)}{2(D^2-4AF)}- \frac{D(CD-2AE)}{2(ED-2CF)} \] existiert eine Gerade, auf deren Regelfläche zwei feste Punkte gleichartige isogonale Trajektorien beschreiben. Ist \(F=0\), so existieren außerdem noch Geraden, die abwickelbare Flächen erzeugen. Ist \(E=0\), so existieren 1. vier Gerade, auf deren Regelflächen je zwei feste Punkte verschiedenartige isogonale Trajektorien beschreiben; die Bogenlängen der letzteren sind einander proportional; 2. \(\infty^2\) Gruppen von je 8 zusammengehörigen Punkten, die bei der Fortbewegung des Dreikants Kurven mit proportionalen Bogenlängen beschreiben; 3. \(\infty^2\) Punktepaare, die bei dieser Bewegung Kurvenpaare mit zueinander orthogonalen Linienelementen beschreiben; 4. zwei mit dem begleitenden Dreikant der Kurve \(C\) fest verbundene Punkte, deren Bahntangenten mit der jeweiligen Tangente von \(C\) konstante Winkel bilden; 5. und ebensolche zwei Punkte, deren Bahntangenten mit der jeweiligen Binormalen von \(C\) konstante Winkel bilden; 6. \(\infty^2\) Geraden \(G\), die sich mit je einem festen Punkte \(P_1\) so fortbewegen, daß die Bogenlänge der Bahn von \(P_1\) proportional ist der Bogenlänge der sphärischen Indikatrix der von \(G\) erzeugten Regelfläche. Weitere Einzelheiten ergeben sich, wenn \(E=F=0\) ist.