Some theorems concerning binary quadratic forms. (Q1469451)

Sind \(f_1\) und \(f_2\) zwei gegebene binäre quadratische Formen und \(f_3\) die zugehörige \textit{Jacobi}sche Form \(J(f_1, f_2)\), so fördert die beliebig weit fortgesetzte Bildung weiterer \textit{Jacobi}scher Formen nur solche Formen zutage, die sich von den fünf Formen: \[ f_1, f_2, f_3, f_4=J(f_1, f_3),\quad f_5=J(f_2, f_3) \] höchstens durch multiplikative Konstanten unterschieden. Diese fünf Formen enthalten die beiden Zyklen \(f_1, f_3, f_4\) und \(f_2, f_3, f_5\). Man kann jede der Gleichungen \(f_{\nu}=0\) \((\nu=1, \dots, 5)\) als ein Strahlenpaar \(S_{\nu}\) bestimmend ansehen, dessen Strahlen sich im Koordinatenanfangspunkt schneiden. Man lege nun durch diesen Punkt einen Kegelschnitt und durch die Schnittpunkte desselben mit \(S_{\nu}\) eine Gerade, deren Pol mit \(P_{\nu}\) bezeichnet werde. Dann bilden sowohl \(P_1, P_3, P_4,\) wie \(P_2, P_3, P_5\) ein Polardreieck des Kegelschnitts. Nimmt man statt \(f_1\) und \(f_2\) die beiden Fundamentalformen der Flächentheorie, so wird \(f_3=0\) die Gleichung der Krümmungslinien, \(f_5=0\) die Gleichung der charakteristischen Linien, \(f_4=0\) die Gleichung der ``Torsionslinien'', d. h. der Flächenkurven, deren Normalkrümmung gleich der halben mittleren Krümmung der Fläche ist. Bei den Minimalflächen bilden bereits die Formen \(f_1, f_2, f_3\) ein vollständiges System. (II 4.)