Fondamenti della geometria proiettivo-differenziale dei complessi e delle congruenze di rette. (Q1469473)

Der Zweck der vorligenden Abhandlung ist der, ein System von Differentialfomrn aufzustellen, die invariant gegenüber Kollineationen in den homogenen Koordinaten sind, um damit eine Kongruenz oder einen Geradenkomplex zu charakterisieren, die erhaltenen Resultate geometrisch zu interpretieren und die Differentialgleichung aufzuschreiben, die erlaubt, von jenen Formen zur Kongruenz oder zum Komplex zurückzugehen. Dieses Formensystem wird gebildet von Differentialformen zweiten Grades (in den Parametern), die gewissen Apolaritätsrelationen unterworfen sind. Die Frage nach den ganzen Invarianten einer Kongruenz oder eines Komplexes ist reduziert auf die Frage nach den Invarianten dieses Formensystems. Im Falle der Kongruenz können wir als Formensystem auch eine quadratische und eine biquadratische Form nehmen. Im Falle des Komplexes bestimmen die ersten beiden Formen 3 Systeme von \(\infty^1\) Kurven des Komplexes, die das Analogen zu den Krümmungslinien einer Fläche bilden. Allen Untersuchungen werden in \textit{Klein}scher Weise normierte projektive Linienkoordinaten zugrunde gelegt. Die erste quadratische Form ist \[ \varphi=\varSigma a_{ik}du_1du_k=\varSigma dx_i^2, \] wo die \(u_i\) die Parameter sind und die \(x_i\) (bzw. \(\mathfrak x\)) die projektiven Linienkoordinaten. Das Verschwinden der quadratischen Form \[ \chi=-\frac{1}{\sqrt{| a_{ik}| }} ({\mathfrak x}, {\mathfrak x}_{u_1}, {\mathfrak x}_{u_2}, {\mathfrak x}_{u_3}, X, \varSigma {\mathfrak x}_{u_iu_k}du_idu_k), \] wo \[ X=\varSigma A_{ik}{\mathfrak x}_{u_iu_k} \] (und \(A_{ik}\) Unterdeterminanten der \(a_{ik}\) sind), ist die notwendige und hinreichende Bedingung, damit ein Geradenkomplex linear ist. Um zu zeigen, daß die drei bzw. zwei Formen zur Bestimmung des Komplexes oder Kongruenz ausreichen, werden wieder die Ableitungsgleichungen aufgestellt, wo nun bei denen des Komplex nicht nur die \(\chi\) auftreten (die das Analogen zu den Projektivnormalen der Fläche sind), sondern auch noch die Größen \(X\), die sich im wesentlichen aus \(\varSigma {\mathfrak x}_{u_iu_k}du_idu_k\) zusammengesetzen, und einen neuen Komplex definieren, der von \textit{Fubini} mit in die Betrachtungen, insbesondere bei den Kongruenzen, hineingezogen wird. Schließlich wird für die Kongruenzen statt der zweiten und dritten quadratischen Form die biquadratische Form \(\varPhi\) eingeführt und mit ihrer Hilfe die Ableitungsgleichungen mit Differentialquotienten 3. Grades geschrieben, wobei dann in den Gleichungen die \(\chi\) und \(X\) nicht vorkommen. Damit eine Kongruenz eine \(W\)-Kongruenz ist, wird als notwendig und hinreichend das Verschwinden einer Determinante angegeben.