Eine Frage über konvexe Körper. (Q1469515)

Zwischen dem Rauminhalt \(J\), der Oberfläche \(O\) und dem Integral \(M\) der mittleren Krümmung eines konvexen Körpers bestehen nach \textit{H. Minkowski} die Beziehungen \[ M^2-3NO\geqq 0,\quad O^2-3JM\geqq 9;\quad M=\frac{4\pi}{3}. \] Es wird die Frage aufgeworfen nach allen Beziehungen zwischen \(J, O, M\) also die Aufgabe: Alle Tripel \(J, O, M\) zu bestimmen, zu denen konvexe Körper gehören. Es ist damit gleichwertig die Frage nach den Eikörpern, für die bei vorgeschriebenen \(J\) und \(M\) die dritte Integralinvariante \(O\) ein Maximum ist. Vermutlich ergibt sich als Lösung der kleinste konvexe Körper einem Torus.