Über affine Geometrie I: Isoperimetrische Eigenschaffen von Ellipse und Ellipsoid. (Q1469521)

In dieser Reihe von Mitteilungen werden Eigenschaften geometrischer Figuren untersucht, die gegenüber inhaltstreuen Affinitäten (also linearen unimodularen Substitutionen der unhomogenen Koordinaten) invariant sind. Die einfachsten Integralinvarianten dieser ``Affingeometrie'', die der Bogenlänge und der Oberfläche in der Orthogonalgeometrie entsprechen und deshalb als ``Affinbogen'' und ``Affinoberfläche'' bezeichnet werden, drücken sich durch Bewegungsinvarianten so aus: \[ \begin{aligned} \text{Affinbogen } \varLambda & =\int \root 3\of{\text{Krümmung}}\cdot \text{Bogenelement},\\ \text{Affinoberfläche } \varOmega & =\int \root 4\of{\text{Krümmungsmaß}}\cdot \text{Oberflächenelement}.\end{aligned} \] Es werden nur hier die ``isoperimetrischen Probleme'' der Affingeometrie behandelt: I. Bei gegebenem Flächenhalt \(F\) einer Eilinie soll ihr Affinumfang \(\varLambda\) ein Maximum werden; II. bei gegebenem Rauminhalt \(J\) einer Einfläche soll ihre Affinoberfläche \(\varOmega\) ein Maximum werden. Mittels eines auf \textit{J. Steiner} zurückgehenden Verfahrens, nämlich mittels der ``Symmetrisierung'' wird gezeigt, daß als Lösungen der Aufgaben I und II nur Ellipse und Ellipsoid in Betracht kommen und für Aufgabe I wird der Existensbeweis nach \textit{Weierstraß} erbracht. So ergibt sich: Für Eilinien und Eiflächen (geschlossene konvexe Kurven und Flächen) gelten die Beziehungen \(8\pi^2F-\varLambda^3\geqq 0\), \(12\pi J- \varOmega^2\geqq 0\), und zwar = nur für Ellipse und Ellipsoid. (IV 15.)