Über die durch reguläre Polyeder nicht stützbaren Körper. (Q1469535)

``Gegeben sei eines der regulären Polyeder \(R\). Gesucht wird die allgemeinste geschlossene (konvexe) Fläche \(F_R\) mit der Eigenschaft, daß das Vielflach \(R\) in allen Stellungen \(F_R\) so umschrieben werden kann, daß alle seine Seitenflächen die Fläche \(F_R\) berühren''. Es ergibt sich folgende Lösung. Ist \(R\) ein Dodekaeder oder Ikosaeder, so ist \(F_R\) eine Kugel. Ist \(F\) ein Würfel, so ist \(F_R\) offenkundig eine ``Fläche konstanter Breite'' (\textit{H. Minkowski}), d. h. parallele Stützebenen haben einen festen Abstand. Nicht-triviale Lösungen ergeben sich in den beiden übrigen Fällen, und zwar haben für den Fall von Tetraeder und Oktaeder die ``Stützebenenfunktionen'' (\textit{Minkowski}), folgende Entwicklungen nach Kugelflächenfunktionen \[ \begin{aligned} & p=a+Y_1+Y_2+Y_5,\\ & p=a+Y_1+Y_5.\end{aligned} \]