Bestimmung einer quadratischen Differentialform aus der \textit{Riemann}schen und den \textit{Christoffel}schen Differentialinvarianten mit Hilfe von Normalkoordinaten. (Q1469574)

In einem \textit{Riemann}schen Raume mit beliebigem Bogenelement \[ ds^2=\sum_{i, k=1}^n a_{ik}(x_1, \dots, x_n)dx_idx_k \] lassen sich neue Koordinaten \(y_i\) (``\textit{Riemann}'s Normalkoordinaten'') in der Umgebung jeder Stelle so einführen, daß das Bogenelement die Form annimmt \[ ds^2=\sum_{i=1}^ndy_i^2+\sum_{ik, rs}{\mathfrak B}_{ik, rs}(y_1, \dots, y_n)p_{ik}p_{rs}, \] wobei \(p_{ik}=y_idy_k-y_kdy_i\) ist und die \(\mathfrak B\) Potenzreihen der \(y\) sind. Aus den \(\mathfrak B\) berechnet sich der \textit{Riemann}'sche Krümmungstensor. Umgekehrt kann man wie \textit{Vermeil} auf Anregung von \textit{F. Klein} und mit Unterstützung von \textit{E. Noether} zeigt, aus \textit{Riemann}'s Krümmungstensor die in gewisser Weise normierten \(\mathfrak B\) in eindeutiger Weise berechnen. Damit ist \textit{Riemanns} Behauptung neu bestätigt, daß aus der Kenntnis des Krümmungstensors rückwärts die der Maßverhältnisse folgt. Von seinen Ergebnissen macht der Verf. Anwendung auf \textit{Christoffel}'s Frage nach Äquivalenz zweier quadratischer Differentialformen (J. f. Math. 70, 1869).