Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung. (Q1469682)

Das Ziel des Verf. ist die Erklärung einiger merkwürdiger Resonanzerscheinungen, die sich bei Pendelschwingungen zeigen, die auf die Differentialgleichung \[ (1) \quad \frac{d^2\psi}{dt^2} + \gamma^2(\sin \psi-\sin \psi_0) + \beta^2(\psi-\psi_0)=k \sin \omega t \] führen, also in erster Annäherung (\(\psi, \psi_0\) klein) auf die bekannte Schwingungsgleichung \[ \frac{d^2\psi}{dt^2}+\alpha^2 \psi=c+k \sin \omega t. \] Beobachtungen zeigen nämlich, daß\ im Falle \(\omega<\alpha\) nicht nur die bekannte Schwingung \(\psi=\frac{c}{\alpha^2}+\frac{k}{\alpha^2-\omega^2} \sin \omega t\), sondern auch noch eine andere mit entgegengesetzter Phase möglich ist, und daß\ bei hinreichend großem \(k\) erstere instabil wird und in letztere überspringt. Der Verf. vereinfacht (1) zu \[ (2)\quad \frac{d^2\psi}{dt^2} + \alpha^2\psi - \beta \psi^2- \gamma \psi^3 = k \sin \omega t \] und berechnet nach verschiedenen Methoden in erster Annäherung das erste Glied \(H \sin \omega t\) einer periodischen Lösung von (2). Es ergibt sich für \(H\) eine Gleichung dritten Grades, die zuweilen nur eine, zuweilen aber drei Lösungen hat. Zweien von ihnen entsprechen die oben angegebenen Möglichkeiten, die dritte scheint als instabil nicht realisierbar zu sein. Das hier behandelte, praktisch wichtige Problem stellt dem Mathematiker neue Aufgaben, denn über einige, allerdings beachtenswerte Anfänge zu einer Lösung ist der Verf. nicht hinausgekommen. Immerhin stimmen schon seine Resultate qualitativ sehr gut und quantitativ befriedigend mit der Erfahrung überein.