Sur les équations générales de la mécanique analytique. (Q1469702)

Im ersten der vier Abschnitte, in welche sich die Arbeit gliedert, werden im ganzen bekannte Eigenschaften der Transformation eines kanonischen Systems in ein anderes zusammengestellt. Insbesondere wird für die erzeugende Funktion \(S\) einer solchen kanonischen Transformation, die ein kanonisches System in ein vorgeschriebenes zweites überführen soll, eine partielle Differentialgleichung aufgestellt, die, wenn \(x_i, y_i\), \(F(x_i, y_i, t)\) das erste, \(\xi_i, \eta_i, \varPhi(\xi_i, \eta_i, t)\) das zweite kanonische System kennzeichnen, die Gestalt \[ \frac{\partial S}{\partial t} + F \left( x_i, \frac{\partial S}{\partial x_i}\,;t \right)=\varPhi \left( \frac{\partial S}{\partial \eta_i}, \eta_i;t \right) \] besitzt. Der zweite Abschnitt beschäftigt sich mit der Anwendung auf die Störung einer Bewegung, d. h. auf folgende Frage: Man hat ein kanonisches System \[ \frac{d \xi_i}{dt}=\frac{\partial F}{\partial \eta_i}, \quad \frac{d \eta_i}{dt}=-\frac{\partial F}{\partial \xi_i} \quad (i=1, 2, \dots, n) \] allgemein integriert und fragt nach der Lösung des entsprechenden Systems für eine Nachbarbewegung \[ \frac{dx_i}{dt}=\frac{\partial F}{\partial y_i} + \varepsilon\;\frac{\partial f}{\partial y_i}, \quad \frac{dy_i}{dt}=- \frac{\partial F}{\partial x_i}- \varepsilon \frac{\partial f}{\partial x_i}, \] wo also \(\varepsilon f\) die Störungsfunktion ist. Der Weg dazu ist die Bestimmung der erzeugenden Funktion \(S(x_i, y_i, t)\) einer kanonischen Transformation, welche das ``gestörte'' System in das ``ungestörte'' überführt. Man hat dazu \[ S=\sum_i x_i \eta_i + \varepsilon \sigma_1 + \varepsilon^2 \sigma^2+ \cdots \] anzusetzen und findet aus der partiellen Differentialgleichung für \(S\) durch Gleichsetzen der verschiedenen Potenzen von \(\varepsilon\) partielle Differentialgleichungen für die \(\sigma'\) der Gestalt \[ \frac{\partial \sigma_i}{\partial t}+(\sigma_i, F)=\text{bekannte Funktion in }x_i, \eta_i, t, \] worin das zweite Glied links die \textit{Poisson}sche Klammer ist, und die rechte Seite erst angegeben werden kann, wenn die vorausgehenden Funktionen \(\sigma_1, \dots, \sigma_{i-1}\) ermittelt sind. Die Integration jeder solchen partiellen Differentialgleichung erfordert nur eine Quadratur, da das ungestörte kanonische System die Charakteristiken der zugehörigen homogenen partiellen Differentialgleichung liefert. Man findet so sukzessive die Funktionen \(\sigma_i\), und da die mit ihnen gebildete Reihe für kleine Werte von \(\varepsilon\) konvergiert, ist damit das gestörte Problem in das ungestörte übergeführt. Der Verf. führt die Rechnung für die erste Näherung \(\sigma_1\) durch, bei der man unmittelbar in \(\sigma_1\) die \(x_i\) durch \(\xi_i\) ersetzen kann und die Störungen durch die Formeln \[ \delta \xi_1=- \varepsilon \frac{\partial \sigma_1}{\partial \eta_1}, \quad \delta \eta_1=\varepsilon \frac{\partial \sigma_1}{\partial \xi_1} \] erhält. Durch passende Wahl der Willkürlichkeiten in der Funktion \(\sigma_1\) kann man noch vorgeschriebene Anfangsbedingungen für die Störungen erfüllen. Der dritte Abschnitt handelt von dem inversen Problem, zu beobachteten Störungen einer bekannten Bewegung die Störungsfunktion zu ermitteln. Dabei liegt die Sache praktisch so, daß\ man die analytische Natur der Störungsfunktion kennt, daß\ diese aber von unbekannten Parametern abhängt, die man aus den beobachteten Störungen berechnen will (Ermittlung eines störenden Planeten, dessen Elemente unbekannt sind). Die Rechnung gestaltet sich verschieden, je nachdem in der Funktion \(F\) der ungestörten Bewegung, oder in der Störungsfunktion \(f\) oder in beiden gleichzeitig die Zeit. auftritt oder nicht, und wird vom Verf. in allen Fällen durchgeführt. Da die Störungsfunktion \[ f(\xi_i, \eta_i, t)=- \left[ \frac{\partial \sigma_1}{\partial t} + \sum_i \left( \frac{\partial \sigma_1}{\partial \xi_i} \frac{\partial F}{\partial \eta_i} - \frac{\partial \sigma_1}{\partial \eta_i} \frac{\partial F}{\partial \xi_1} \right) \right] \] ist, und die partiellen Ableitungen von \(\sigma_1\) nach \(\xi_i\) und \(\eta_i\) gleich den durch Beobachtung bekannten Störungen, so muß\ in jedem Falle \(\frac{\partial \sigma_1}{\partial t}\) weggeschafft werden. Im vierten Abschnitt wird bemerkt, daß\ die Reihenentwicklung der erzeugenden Funktion \(S\) der kanonischen Transformation auch noch für größere \(\varepsilon\) konvergiert, sofern nur das Zeitintervall hinreichend klein genommen wird: denn die einzelnen Glieder \(\sigma_k\) enthalten \((t-t_0)^k\) als Faktor. Unter Benutzung dieser Überlegung kann man die Integration eines beliebigen kanonischen Systems als Transformationsproblem eines gestörten Problems 1 das ungestörte mit \(F \equiv 0\) auffassen und kommt so zu einem Analogon des \textit{Jacobi}schen Satzes über die Integration eines kanonischen Systems mit Hilfe eines vollständigen Integrals der zugehörigen \textit{Hamilton-Jacobi}schen partiellen Differentialgleichung.