Recent extensions of \textit{Descartes}' rule of signs. (Q1469879)

Es sei \(f(x)\) ein Polynom mit reellen Koeffizienten, \(\varphi(x)\) ein Polynom oder eine Potenzreihe mit positiven Koeffizienten. \textit{Laguerre} untersuchte gewisse Fälle, wo die \textit{Descartes}sche Zeichenregel, angewandt auf das Produkt \(f(x)\varphi(x)\) die genaue Anzahl der positiven Nullstellen von \(f(x)\) im Konvergenzbereiche des Produktes \(f(x)\varphi(x)\) ergibt, nicht bloß eine obere Grenze dafür. \textit{Laguerres} Untersuchungen wurden in verschiedenen Richtungen fortgesetzt von \textit{Poincaré} (C. R. 97, 1418, 1883) (nicht zitiert vom Verf. S. 260). \textit{E. Meißner} (F. d. M. 42, 459 (JFM 42.0459.*), 1911), \textit{M. Fekete} und \textit{G. Pólya} (F. d. M. 43, 145 (JFM 43.0145.*), 1912), deren Resultate der Verf. in Zusammenhang darlegt, indem er seine eigenen Zusätze und Beweisvarianten (vgl. F. d. M. 44, 117 (JFM 44.0117.*), 1913 und 45, 170, 1914-15) in den Vordergrund stellt. Besonderes Interesse verdienen die Stellen S. 268-269 (Ergänzung zu \textit{Laguerre} und S. 270-271 (wesentliche Vereinfachung zu \textit{Fekete} und \textit{Pólya}).