Zur Bestimmung der reellen Wurzeln einer algebraischen Gleichung durch Iteration. (Q1469889)

Es werden Iterationen \(z_{i+1}=F(z_i)\) angegeben, die für jeden reellen Wert von \(z_1\) konvergieren und zwar gegen eine Wurzel der gegebenen Gleichung \(f=0\) (ausgenommen wenn \(z_1=z_2=\cdots\) wird), sodaß jede reelle Wurzel dadurch erreicht wird. Zur Vorbereitung wird die von \textit{Legendre, Galois, Laguerre} und \textit{Tauber} bereits behandelte Aufgabe auf zwei verschiedene Arten gelöst, zu einer gegebenen reellen Zahl \(z_1\) durch Iteration die nächstkleinere bzw.-größere Wurzel zu finden. Aus dem zweiten dieser Verfahren gelingt es, die gesuchte stets konvergente Iterationsmethode zu gewinnen. Es folgen einige Bemerkungen über das \textit{Newton}sche Iterationsverfahren, das unter gewissen Voraussetzungen stets oder wenigstens auf einem ganzen Halbstrahl der reellen Achse konvergiert.