Über Kreisgebiete, in denen eine Wurzel einer algebraischen Gleichung liegt. (Q1469890)

Der Hauptsatz dieser Arbeit bedeutet eine wichtige Verschärfung bekannter früherer Resultate desselben Verfassers. (Math. Ann. 65, 413; F. d. M. 39, 123 (JFM 39.0123.*), 1908.) Für eine \((k+1)\)-gliedrige algebraische Gleichung kann der Kreis um den Anfangspunkt, der nach den früheren Untersuchungen mindestens eine Wurzel der Gleichung enthält, ersetzt werden durch eine Anzahl \(\nu_1\) von ihm umschlossener Kreise, sodaß in oder auf \textit{jedem} dieser einzelnen Kreise mindestens eine Wurzel der Gleichung liegt; \(\nu_1\) bedeutet hierbei den kleinsten Exponenten, mit dem \(x\) in der Gleichung vorkommt und jeder einzelne Kreis steht über einem Radius des großen Kreises als Durchmesser derart, daß diese Radien ein regelmäßiges \(\nu_1\)-Eck bilden. Der Satz gilt ebenso wie der frühere in drei verschiedenen Formen, bei denen der Radius des großen Kreises entweder von den beiden ersten Koeffizienten \(a_0\) und \(a_1\), den Exponenten \(\nu_1, \dots, \nu_k\) und der Zahl \(k\), oder nur von \(a_0, a_1, \nu_1, k\) abhängt. Der Beweis stützt sich allein auf den bekannten \textit{Gauß}schen Satz, wonach die Wurzeln der Ableitung in oder auf dem kleinsten konvexen Polygon liegen, das die Wurzeln der Gleichung umspannt. Als Folgerung ergibt sich für \(\nu_1 \geqq 2\), daß im großen Kreise mindestens zwei von einander verschiedene Wurzeln enthalten sind. Der Spezialfall \(\nu_1=1\) enthält einen älteren Satz von \textit{Laguerre}, in dem an Stelle von \(k\) der Grad \(n\) der Gleichung auftritt.