Eine algebraische Behauptung von \textit{Gauß}. (Q1469907)

Im Jahre 1801 hat \textit{Gauß} in sein wissenschaftliches Tagebuch als Notiz unter Nr. 116 eingetragen: ``Impossible esse ut sectio circuli ad aequationes inferiores quam theoria nostra suggerit reducatur'' (vgl. \textit{F. Klein}, Math. Ann. 57, 28, 1903, \textit{Gauß}, Werke \(10_1\), 556, 1917 [ebendort ist ein Teil des zu besprochenden Aufsatzes abgedruckt]). Dieselbe Aussage findet sich auch in \textit{Gauß}' Disquisitiones arithmeticae (1801), und zwar im Art. 365 (Werke 1, 462) für den Fall, daß der Grad \(n\) der Kreisteilungsgleichung \(x^n=1\) eine Primzahl ist, und im Art. 366 (Werke 1, 463) für die Fälle, daß der Grad \(n\) eine Primzahlpotenz oder eine beliebige, zusammengesetzte Zahl ist. Ein Beweis für \textit{Gauß} Behauptung ist weder in seinen Veröffentlichungen noch in seinem Nachlaß enthalten; auch war bisher kein Beweis ohne \textit{Galois}sche Theorie bekannt. Der Verf. beweist die \textit{Gauß}schen Aussagen mit elementaren Hilfsmitteln, wie sie schon 1801 in Besitz des großen Mathematikers gewesen sein können. Hergeleitet wird folgendes Theorem A: Gegeben sei eine in einem Rationalitätsbereiche \(P\) irreduzible Gleichung \(I(x)=0\) vom \(n\)-ten Grade. Eine Wurzel \(\varphi_1\) dieser Gleichung sei rational mit Koeffizienten aus \(P\) dargestellt durch die Größen \(\varrho_1, \varrho_2, \dots, \varrho_k\) wo \(\varrho_1\) einer Gleichung \(X_1(x)=0\) genügt, deren Koeffizienten dem Bereich \(P\) angehören und die in \(P\) irreduzibel ist, \(\varrho_2\) einer Gleichung \(X_2(x)=0\), deren Koeffizienten dem erweiterten Rationalitätsbereiche \((P, \varrho_1)\) angehören und die in diesem Bereiche irreduzibel ist usw., endlich einer Gleichung \(X_k(x)=0\), deren Koeffizienten dem Rationalitätsbereiche \((P, \varrho_1, \varrho_2, \dots, \varrho_{k-1})\) angehören und die in diesem irreduzibel ist. Dann ist das Produkt aller Grade der Hilfsgleichungen \(X_1(x)=0, X_2(x)=0, \dots, X_k(x)=0\) durch den Grad \(n\) von \(l(x)=0\) teilbar. Aus dem Theorem A. folgt: Ist das Produkt der Grade aller Hillfsgleichungen \(X_i(x)=0 (i=1, 2, \dots, k)\) gleich \(n\) und sind ferner noch die Grade aller Hilfsgleichungen Primzahlen \(p_i(i=1, 2, \dots, k)\), so kann man nicht unter die Grade der Hilfsgleichungen \(X_1=0, X_2=0, \dots, X_k=0\) heruntersteigen. Für die irreduzible Gleichung \(\varphi(N)=a^{\alpha- 1}(a-1)b^{\beta-1}(b-1)\dots\)-ten Grades, die zu der Kreisteilungsgleichung \(x^N=1\) gehört, führt \textit{Gauß} die Auflösung auf die Hilfsgleichungen, die bei der Teilung des Kreises in \(a, b, \dots\) Teile auftreten, und auf \(\alpha-1\) Gleichungen des Grades \(\alpha, \beta-1\) Gleichungen des Grades \(b\) usw. zurück; dabei ist \(N=a^{\alpha}\cdot b^{\beta}\dots\) \((a, b, \dots\) verschiedene Primzahlen). Da das Produkt der Grade der \textit{Gauß}schen Hilfsgleichungen gleich dem Grade \(\varphi(N)\) der irreduziblen Ausgangsgleichung ist, kann man unmöglich die Grade der Hilfsgleichungen erniedrigen; jede andere für die Lösung der Gleichung \(\varphi(N)\)-ten Grades benutzbare Kette von Hilfsgleichungen würde mindestens eine gleiche Anzahl von Gleichungen derselben Grade oder wenigstens eine Gleichung enthalten, deren Grad eine größere, zusammengesetzte Zahl ist. Unter anderem ergibt sich aus Satz A) der bekannte \textit{Wantzel}sche Satz (Journ. de Math. 2, 336, 1837): Soll sich eine Wurzel einer irreduziblen Gleichung durch alleiniges Ziehen von Quadratwurzeln, d. h. durch eine Kette von Hilfsgleichungen zweiten Grades finden lassen, so muß der Grad der Gleichung notwendig eine Potenz von 2 sein.